Determine uma equação para a reta que é tangente ao gráfico de f(x) = x^4 - 3 e paralela à reta y = 4x + 3 .

Passo 1

E ai galera, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu uma função f x = x 4 - 3 e pediu para determinarmos a equação da reta tangente a essa função

y = 4 x + 3

Mas calma lá! Vamos decifrar isso juntos!

Você já está ligado que reta tangente ao gráfico de uma função é uma reta cujo coeficiente angular é a derivada da função em um determinado ponto!

Mas agora ela precisa ser paralela a outra reta! Bom, para isso acontecer, os coeficientes angulares precisam ser iguais! Uma reta só é paralela a outra quando os coeficientes angulares são iguais!

Então a ideia aqui é encontrar a derivada da função e igualar ao coeficiente angular da reta dada. Com isso vamos ter um valor de x = x 0 ! Isso mesmo!

Com esse ponto ( x 0 , y 0 ) (podemos achar o y 0 correspondente e formar um ponto, é só jogar esse x 0 na f ( x ) ) mais o coeficiente angular podemos achar a equação da reta tangente que o exercício pediu

A equação de uma reta é:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

E aquele m = 4 é o coeficiente angular e já sabemos que vale 4, pois a reta tangente pedida precisa ser paralela à reta dada!

Obs.: o coeficiente angular de uma reta é o número que está multiplicando a variável x quando a reta está na forma y = m x + b , beleza?

Então vamos começar?

Passo 2

Vamos achar a derivada da função dada!

A função

f x = x 4 - 3

Derivando temos:

f ' x = 4 x 3

E igualando a 4:

4 x 3 = 4

x 3 = 1

x = 1

Então essa é a abscissa do ponto que nos dá a inclinação m = 4 ! Então esse é nosso x 0 = 1 !

Para achar a ordenada, é só jogar esse x na função:

f 1 = 1 4 - 3 = - 2

Pronto! Determinamos o ponto x 0 , y 0 = ( 1 , - 2 )

Tranquilo?

Passo 3

Agora é só juntar todos esses resultados (ponto + coeficiente angular) e jogar na equação da reta

y - y 0 = m ( x - x 0 )

m = 4

x 0 = 1

y 0 = - 2

Aí nossa equação e reta fica assim

y - - 2 = 4 ( x - 1 )

y + 2 = 4 x - 4

y = 4 x - 4 - 2

y = 4 x - 6

E está aí nosso resultado! A equação da reta tangente que é paralela à reta dada é:

y = 4 x - 6

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Vamos para a próxima?

Resposta

y = 4 x - 6

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