4) Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva x 5 + x y 3 + x 2 y + y 4 = 4 no ponto P 1,1 .

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos achar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva dada no ponto dado.

Pra isso vamos lembrar que a equação da reta pode ser representada por:

y = a x + b

E que a é o coeficiente angular da reta e ele é representado pela derivada da função no ponto de tangência.

Também precisamos lembrar que que a reta normal ( y = a ' x + b ' ) é a reta perpendicular à tangente. E que os coeficientes angulares das duas se relacionam da forma:

a ⋅ a ' = - 1

Passo 2

Vamos começar derivando a equação, maaas como não tem nenhum y explícito, vamos derivar implicitamente:

5 x 4 + y 3 + 3 x y 2 y ' + ( 2 x y + x 2 y ' ) + 4 y 3 y ' = 0

No ponto P 1,1 :

5 1 4 + ( 1 ) 3 + 3 ( 1 ) ( 1 ) 2 y ' + ( 2 ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) 2 y ' ) + 4 ( 1 ) 3 y ' = 0

y ' = - 1

Então já podemos dizer que a reta tangente vai ter a carinha:

y = - x + b

Mas sabemos que ela passa pelo ponto 1,1 , então:

1 = - 1 + b

b = 2

E a equação da reta tangente fica:

y = - x + 2

Passo 3

Já para reta normal, temos:

a ⋅ a ' = - 1

- 1 ⋅ a ' = - 1

a = 1

Então a carinha da reta normal fica:

y = x + b '

Mas ela passa pelo ponto 1,1 , então:

1 = 1 + b '

b ' = 0

E a equação da reta normal fica:

y = x

Resposta

y = - x + 2

y = x

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1