Determine os pontos do gráfico de y = x 3 / 2 - x 1 / 2 em que a tangente seja paralela à reta y - x = 3 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos do gráfico de y = x 3 / 2 - x 1 / 2 em que a reta tangente a ele seja paralela a reta y - x = 3 .

Bom, nós sabemos que a equação de um reta tem a forma y = m x + b , onde m é o coeficiente angular da reta. Isolando y na reta que ele nos deu, vamos ter:

y = x + 3

Então, o coeficiente angular dessa reta é m = 1 , que é quem ta multiplicando x ali. Além disso, nós sabemos que a derivada da função é igual ao coeficiente angular da reta tangente a ela no ponto.

Sendo assim, para que as retas sejam parelas elas vão precisar ter o mesmo coeficiente angular, e consequentemente a derivada de y = x 3 / 2 - x 1 / 2 vai precisar ser igual a 1 . É assim que nós vamos encontrar o ponto pedido.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a função y = x 3 / 2 - x 1 / 2 , usando a regra da potência para derivar ( x n ' = n x n - 1 ):

y ' = 3 2 x 3 2 - 1 - 1 2 x 1 2 - 1

y ' = 3 2 x 1 / 2 - 1 2 x - 1 / 2

Igualando a 1 , vamos encontrar o valor de x da coordenada:

3 2 x 1 / 2 - 1 2 x - 1 2 = 1

Multiplicando ambos os lados por 2 :

3 x 1 / 2 - 2 x - 1 2 = 2

Fatorando:

- 1 + 3 x x 1 / 2 = 2

Elevando ambos os lados ao quadrado:

1 x - 6 + 9 x = 4

9 x 2 - 10 x + 1 = 0

Resolvendo pra x , encontramos apenas uma raiz que satifaz a equação, que é:

x = 1  

Então, será a nossa coordenada x .

Passo 3

Substituindo x = 1 em y = x 3 / 2 - x 1 / 2 , temos:

y = ( 1 ) 3 / 2 - 1 1 / 2

y = 1 - 1 = 0

Então, nosso ponto será 1 ,   0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 ,   0

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