Determine a reta que é tangente ao gráfico de

f x = 2 x + 1 x - 1

E passa pelo ponto ( 1,1 ) .

Passo 1

O que temos de informação é que existe alguma reta tangente a esse gráfico que passa no ponto ( 1,1 ) . Na verdade, o próprio ponto ( 1,1 ) nem faz parte do domínio da função, o que indica que essa reta deve passar em algum ponto chamado ( x 0 , y 0 ) que pertence ao gráfico e cuja inclinação é dada justamente por f ' ( x 0 ) , o nosso famoso coeficiente angular. Se eu utilizar a seguinte notação de reta, podemos configurar melhor essa situação:

y = a x + b

Nesse caso, o coeficiente angular a é igual a f ' ( x 0 ) :

y = f ' x 0 x + b

Eu sei ainda que essa reta passa no ponto ( 1,1 ) e ( x 0 , y 0 ) :

1 = f ' x 0 1 + b y 0 = f ' x 0 x 0 + b

Olha, se eu sei ainda que f x = y = 2 x + 1 x - 1 , posso dizer que y 0 = 2 x 0 + 1 x 0 - 1 . Se calcularmos o valor da função de derivada, teremos um sistema pronto para ser resolvido. Vou usar a Regra do Quociente para essa derivada, olha aqui:

f ' x = 2 x + 1 ' x - 1 - 2 x + 1 x - 1 ' x - 1 2 = 2 x - 1 - 2 x + 1 x - 1 2

= 2 x - 2 - 2 x - 1 x - 1 2 = - 3 x - 1 2

Sendo assim, tenho que y 0 = 2 x 0 + 1 x 0 - 1 e y 0 ' = - 3 x 0 - 1 2 :

1 = - 3 x 0 - 1 2 1 + b 2 x 0 + 1 x 0 - 1 = - 3 x 0 - 1 2 x 0 + b

Para ficar melhor vou dar uma arrumada na equação de baixo:

2 x 0 + 1 x 0 - 1 = - 3 x 0 - 1 2 x 0 + b

( 2 x 0 + 1 ) x 0 - 1 x 0 - 1 2 + 3 x 0 x 0 - 1 2 = b

2 x 0 2 - x 0 - 1 + 3 x 0 x 0 - 1 2 = b

2 x 0 2 + 2 x 0 - 1 x 0 - 1 2 = b

Se eu jogo esse termo na primeira equação, a do ponto ( 1,1 ) , vai sair o x 0 :

1 = - 3 x 0 - 1 2 1 + b → 1 = - 3 x 0 - 1 2 + 2 x 0 2 + 2 x 0 - 1 x 0 - 1 2

1 = 2 x 0 2 + 2 x 0 - 4 x 0 - 1 2

1 = 2 ( x 0 + 2 ) ( x 0 - 1 ) x 0 - 1 2

1 = 2 ( x 0 + 2 ) ( x 0 - 1 )

x 0 - 1 = 2 x 0 + 4

x 0 = - 5

Basta usar esse valor em qualquer equação e descobrir o b :

1 = - 3 x 0 - 1 2 1 + b

1 = - 3 - 5 - 1 2 1 + b

1 = - 1 12 + b → b = 13 12

O precisamos também do f ' x 0 = a :

- 3 x 0 - 1 2 = - 3 - 5 - 1 2 = - 1 12

Achamos a reta!

y = a x + b → y = - x 12 + 13 12

Resposta

y = - x 12 + 13 12

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