USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.43
Determine todos os números positivos tais que a curva corta a reta .
Passo 1
Faaala galera, tudo certinho com vocês?
Nessa questão temos um conjunto de funções dadas por:
Dizemos que é um conjunto porque a função depende do valor de que estamos adotando.
O enunciado nos pede para determinar todos os valores positivos de que fazem a curva cortar a reta .
Sacaram?
Então, deve existir uma quantidade infinita de valores de que satisfazem o que a questão está pedindo. Portanto, não vamos determiná-los um a um, mas iremos determinar o último valor de que satisfaz o que a questão pede, ou limite máximo para .
A ideia então é esboçar essa situação limite e usar a equação da reta tangente da curva para relacionar com a reta .
Vem comigo que vai ficar top 😊
Passo 2
Bom, pra começar vamos entender o que acontece na situação limite, ou seja, no último valor de que faz a curva intersectar a reta .
Imagina que temos um valor bem pequeno de , então a curva deve cortar a reta em dois pontos. À medida que aumentamos o valor de , esses dois pontos de intersecção vão se aproximando, até que na situação limite, a curva é tangenciada pela reta .
Ou seja, sendo o ponto em que ocorre essa intersecção, temos que a reta é a tangente da curva nesse ponto.
Beleza?
Assim, calculando a derivada da curva, temos:
A derivada no ponto:
Vale:
Como sabemos, a derivada da curva em um determinado ponto representa o coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto.
Ou seja:
deve representar o coeficiente angular da reta:
Logo:
Massa! Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
O grande problema dessa equação é que queremos determinar o valor de (que é o máximo valor de que satisfaz a condição do enunciado), mas não temos o ponto da intersecção.
Assim, precisamos de mais uma relação.
Podemos usar que, quando à intersecção entre a curva e a reta, vale que:
Logo:
Daí, aplicando o temos:
Pela propriedade dos logaritmos:
Daí, fazendo o exponencial dos dois lados da equação:
Excelente! Substituindo esse valor na equação vamos que encontramos no passo anterior, ficamos com:
Pela propriedade do logaritmo:
Logo:
Aplicando o exponencial:
onde é o número de Euler.
Estamos quase terminando pessoal!
Como havíamos achado que:
Temos:
Uhuuuul! Esse é o valor limite dos possíveis valores de que faz com que a curva corte a reta .
Portanto, qualquer valor de menor ou igual a esse também satisfaz o nosso problema.
Daí:
E é isso pessoal!!
Terminamos! Espero que vocês tenham curtido a solução!
Até a próxima 😊