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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP – Lista 1, Questão 3.31

Determine todos os pontos ( x 0 ,   y 0 ) sobre a curva y = 4 x 4 - 8 x 2 + 16 x + 7 tais que a reta tangente à curva em ( x 0 ,   y 0 ) seja paralela à reta 16 x - y + 5 = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva y = 4 x 4 - 8 x 2 + 16 x + 7 que tem uma reta tangente no ponto ( x 0 ,   y 0 ) . Essa reta tangente é paralela à reta 16 x - y + 5 = 0 . E nós precisamos determinar os pontos ( x 0 ,   y 0 ) .

Primeira coisa importante dessa questão é perceber que a reta tangente no ponto dado equivale a derivada naquele ponto. Então, chamando a curva de f x = 4 x 4 - 8 x 2 + 16 x + 7 , nós vamos calcular f ' ( x 0 ) . Para determinar x 0 , nós precisamos comparar o valor dessa derivada no ponto com o coeficiente angular da reta y = 16 x + 5 , já que elas são paralelas e possuem o mesmo coeficiente angular.

Encontrando x 0 , a gente substitui o valor em f ( x ) e encontra y 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x = 4 x 4 - 8 x 2 + 16 x + 7 :

f ' x = 16 x 3 - 16 x + 16

Então, f ' ( x 0 ) será:

f ' x 0 = 16 x 0 3 - 16 x 0 + 16

Se a reta é tangente à reta y = 16 x + 5 , elas possuem o mesmo coeficiente angular. O coeficiente angular da reta y é 16 , então temos:

f ' x 0 = 16

Assim,

16 x 0 3 - 16 x 0 + 16 = 16

16 x 0 3 - 16 x 0 = 0

Colocando 16 x 0 em evidência:

16 x 0 x 2 - 1 = 0

Então, temos:

16 x 0 = 0 → x 0 = 0

Ou

x 0 2 - 1 = 0 → x 0 = ± 1

Passo 3

Agora vamos determinar y 0 para cada x 0 que encontramos, fazendo f ( x 0 ) na curva curva y = 4 x 4 - 8 x 2 + 16 x + 7 :

Para x 0 = 0 :

f 0 = 4 0 4 - 8 0 2 + 16 0 + 7

f 0 = 7

Para x 0 = 1 :

f 1 = 4 1 4 - 8 1 2 + 16 1 + 7

f 1 = 19

Para x 0 = - 1 :

f - 1 = 4 - 1 4 - 8 - 1 2 + 16 - 1 + 7

f - 1 = - 13

Então, os pontos ( x 0 ,   y 0 ) são ( 0 ,   7 ) , ( 1 ,   19 ) , ( - 1 ,   - 13 ) .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

( 0 ,   7 ) , ( 1 ,   19 ) , ( - 1 ,   - 13 )

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