UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.5.2
Determine os valores das constantes e para que o gráfico da função e a curva definida implicitamente por tenham a mesma reta tangente no ponto .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os valores das constantes e , de forma que o gráfico de e a curva tenham a mesma reta tangente no ponto .
Bom, se elas possuem a mesma reta tangente, elas possuem o mesmo coeficiente angular, certo? Então, vamos achar esse coeficiente angular e encontrar o valor da função no ponto dado, pra que a gente consiga determinar o valor de e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a equação da curva :
Usando a regra da cadeia, temos:
Pra , que é o nosso ponto de tangência, temos:
Passo 3
Agora vamos derivar implicitamente a equação da curva :
A gente deriva normalmente em relação a , usando as regras de derivação convencionais. Mas nos termos onde o aparece, consideramos que ele é uma função de () e acrescentamos o termo (que representa a derivada de em relação a ). Então, fica assim:
Repare que nós usamos a regra do produto na derivada dos termos. Agora substituindo o ponto e , temos:
Simplificando, vamos obter:
Como os coeficientes angulares precisam ser iguais, vamos ter igual a , então:
Passo 4
Agora para encontrar o valor de , vamos calcular em :
Como , vamos ter:
Como , temos:
Além disso, no passo nós encontramos , então, resolvendo pra vamos ter:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉