Encontre a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0, y0) :

y = e^x * x^(-1), (x0, y0) = (1, e)

Passo 1

E aí, galerinha! Sem mais delongas, vamos ao que interessa!! Como achar a equação da reta tangente? Bem, saber isso é saber a inclinação da reta, que é dada pela fórmula da derivada da função.

Formalmente falando, a reta tangente no ponto em que x = x 0 é dada por:

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Lembrando que f x 0 = y 0 , logo como já temos o par ordenado ( 1 , e ) , sabemos que quando x 0 = 1 ,     y 0 = e

Daqui vemos que vamos precisar de alguns parâmetros pra encontrar nossa reta.

f x 0

f ' x 0

Passo 2

Encontrar f ( x 0 ) é apenas substituir o valor de x = x 0 na nossa função original, show!?

f x = e x x - 1 → f x = x 0 = 1 = 0

Vamos agora fazer nossa derivada ali, que já vimos que vamos precisar da regra do produto!!

f ' x = d d x e x x - 1 + e x d d x x - 1 = e x x - e x x 2

f ' x = e x 1 x - 1 x 2

f ' x 0 = 1 = 0

Logo, temos

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

y - e = 0 x - 1

y = e

Resposta

y = e

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