UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.5.4
Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a reta tangente ao gráfico da curva no ponto .
Pra isso, vamos precisar derivar implicitamente a função e aplicar o ponto e na equação que encontrarmos. Lembrando que pra derivar implicitamente a gente deriva normalmente em relação a , usando as regras de derivação convencionais. Mas nos termos onde o aparece, consideramos que ele é uma função de () e acrescentamos o termo (que representa a derivada de em relação a ).
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando :
No lado direito, como temos uma constante, o valor da derivada também será nulo. No lado esquerdo, vamos separar as derivadas de cada termo da soma:
Derivando cada termo como uma função de , vamos ter:
Repare que nos termos e a gente aplica a regra da cadeia junto com a regra do produto na derivação, beleza? Agora substituindo e na equação, temos:
Isolando :
Tá, mas esse é o coeficiente angular da reta e a gente quer saber a equação dessa reta tangente.
Passo 3
Pra encontrar a equação da reta, vamos usar:
Onde é o nosso ponto e é o coeficiente angular da reta, que encontramos no passo anterior. Substituindo, temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉