b Encontre a equação da reta tangente r ao gráfico da função f x = cos ⁡ π 2 x e x - 1 no ponto P 0 = 1,0 .

Passo 1

Derivando a função, usamos a Regra da Cadeia e depois a Regra do Produto:

f ' x = cos ⁡ π 2 x e x - 1 ' = - sen ⁡ π 2 x e x - 1 π 2 x e x - 1 '

= - π 2 sen ⁡ π 2 x e x - 1 x ' e x - 1 + x e x - 1 '

= - π 2 sen ⁡ π 2 x e x - 1 1 e x - 1 + x e x - 1

= - π 2 sen ⁡ π 2 x e x - 1 e x - 1 1 + x

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Passo 2

No ponto 1,0 , o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico será dado pela derivada da função nesse ponto:

f ' 1 = - π 2 sen ⁡ π 2 1 e 1 - 1 e 1 - 1 1 + 1

= - π 2 sen ⁡ π 2 1 2 = - π 2 1 2

= - π

Assim, para uma reta modelada por y = a x + b , teremos a = - π .

Passo 3

Essa reta passa no ponto 1,0 . Com isso, temos que ter:

y = - π x + b     →     0 = - π 1 + b

b = π

Logo, a reta será dada por:

y = - π x + π

Resposta

y = - π x + π

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