Encontre uma parábola y = a x 2 + b x + c que passa pelo ponto 1 , - 1 e cujas retas tangentes em x = 1 e x = - 2 tenham inclinações 2 e 1 respectivamente.

Passo 1

Definindo a,b

Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente pode enunciar aqui a equação de uma reta tangente. Pra qualquer função y = f x , a reta tangente a ela no ponto x 0 , y 0 terá sempre a seguinte cara:

y = m ∙ x - x 0 + y 0

Onde m é a inclinação da reta, e é representada matematicamente pelo valor da primeira derivada no ponto de tangência, ou seja:

m = f ' x 0

Como sabemos a cara da função, derivamos:

y 0 = f x 0 = a x 0 2 + b x 0 + c

m = f ' x 0 = 2 a x 0 + b

Até aqui tudo bem, mas pensa comigo: são três incógnitas pra achar e somente dois pontos pra trabalhar, tem algo errado aí! Bem, realmente tem, mas veja que na equação de m , só duas incógnitas aparecem! E do enunciado, temos:

x 0 = 1 m = 2       e       x 0 = - 2 m = 1

Opa! Conseguimos montar um sisteminha com esses valores! Saca só:

2 = 2 a + b 1 = - 4 a + b

Multiplicando a primeira equação por 2 , temos:

4 = 4 a + 2 b 1 = - 4 a + b

Somando as duas, chegamos a:

3 b = 5

b = 5 3

Usando esse valor na segunda equação, temos:

1 = - 4 a + 5 3

3 = - 12 a + 5

- 12 a = - 2

a = 2 12 = 1 6

E bem, modelamos parte da parábola já:

f x = 1 6 x 2 + 5 3 x + c

Passo 2

Definindo c

Agora a gente vai achar o último parâmetro da parábola usando a única informação que não usamos ainda: o ponto 1 , - 1 , que pelo enunciado, faz parte dela. Sendo assim, temos:

- 1 = 1 6 ∙ 1 2 + 5 3 ∙ 1 + c

- 1 = 1 6 + 1 0 6 + c

Multiplicando os dois lados por 6 , temos:

- 6 = 1 + 10 + 6 c

6 c = - 6 - 1 - 10

6 c = - 17

Logo:

c = - 17 6

E ta na mão! A equação vai ser:

f x = 1 6 x 2 + 5 3 x - 17 6

Passo 3

Confirmação gráfica

Essa parte aqui não precisa, mas é só pra ilustrar e ficar bonitinho pra vocês! Sendo:

y = m ∙ x - x 0 + y 0

y = f x 0

As duas tangentes serão:

y = 2 ∙ x - 1 + f 1

y = 1 ∙ x + 2 + f - 2

E o gráfico de f x considerando essas tangentes tem essa cara:

Resposta

f x = 1 6 x 2 + 5 3 x - 17 6

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