UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 5.4
Encontre os pontos sobre a elipse onde a reta tangente tem inclinação 1. Para esses pontos determine, também, a equação da reta normal à curva.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede para calcular os pontos (x,y) onde a reta tangente à elipse possui inclinação igual à 1. Bem, a gente sabe que para calcular a inclinação de uma função precisamos calcular a sua derivada. No entanto, precisamos notar que mesmo se escrevermos y em função de x, uma elipse não é uma função, porque para cada x existe mais de uma imagem, visto que tantos valores positivos da raiz quanto negativos são solução para y(x). Mas, nem tudo está perdido! Apesar de não podermos escrever a elipse inteira como uma função, sabemos que ela é simétrica em x. Dá uma olhada na figura abaixo:
Da figura, devido a simetria da elipse, a gente percebe que, para um dado x, teremos uma reta tangente para a parte positiva da função (correspondente à ) e uma reta tangente para a parte negativa (correspondente à ) que serão iguais em módulo para o mesmo x, visto que a única distinção entre as curvas é o sinal. Outro ponto importante a ser notado é que, os únicos pontos onde as retas tangentes à elipse são positivas são nos quadrantes e . Com isso, podemos derivar a “função” e utilizar as simetrias da elipse para determinar os pontos que procuramos. Então, bora lá!
Passo 2
Bem, agora nossa missão é derivar em relação a x. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia. Definindo as funções e , podemos escrever a função y(x) como . Pela regra da cadeia, temos que a derivada de y em relação à x é:
Dessa expressão vemos que, quando , . Portanto, substituindo esse valor de x na equação da elipse, obtemos que os pontos sobre a elipse que possuem reta tangente com inclinação igual à 1 são e .
Passo 3
Bem, como a inclinação das retas tangentes é igual à 1, temos que um vetor com componentes (1,1) possui a mesma direção, já que a tangente do ângulo que esse vetor faz com o eixo x também é 1 . Então, para determinar as retas normais, precisamos encontrar um vetor de componentes (a,b) ortogonal ao vetor (1,1). Assim, o produto escalar entre esses vetores precisa ser 0.
Logo, temos a seguinte restrição para as componentes do vetor (a,b): . Então, a inclinação da reta normal é igual à . Agora que já determinamos o coeficiente angular, só precisamos determinar os coeficientes lineares das retas! Bem, sabemos que uma das nossas retas tem que passar pelo ponto . Podemos substituir essas coordenadas e o coeficiente angular na equação da reta para determinar o valor de b. Fazendo isso para a primeira reta, obtemos
e para a segunda reta, utilizando o ponto , temos
Então, as equações das retas normais nos pontos e são, respectivamente: e . Dá uma olhada nos gráficos!
Resposta
Pontos de inclinação igual à 1: e
Equações das retas normais: e