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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P1 - 2023.1, Questão 4

Encontre a reta tangente a curva

s i n ( x + y ) = y 2 c o s ( x )

no ponto ( 0,0 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos

a reta tangente a curva

s i n ( x + y ) = y 2 c o s ( x )

no ponto ( 0,0 )

Para encontrar essa reta tangente, precisamos calcular a derivada implícita da função. Isto é devemos lembrar que y é função de x e que d y ( x ) d x = y ' ( x ) .

Para facilitar, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função

s i n ( x + y ) = y 2 c o s ( x )

Vamos reescrever nossa função

s i n ( x + y ( x ) ) = y 2 ( x ) c o s ( x )

Vamos começar derivando

s i n ( x + y ( x ) )

Note que a função é da forma

f ( x ) = g ( h ( x ) )

onde

h ( x ) = x + y ( x )

g ( x ) = c o s ( x )

Logo, pela regra da cadeia temos que

f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

= c o s ( x + y ( x ) ) * ( 1 + y ' ( x ) )

E a derivada de y 2 ( x ) c o s ( x ) Vamos usar a regra do produto

d d x y 2 ( x ) * c o s ( x ) - y 2 ( x ) s i n ( x )

Usando a regra da cadeia temos que

d d x y 2 ( x ) = 2 y ( x ) * y ' ( x )

Logo, chegamos a conclusão que

c o s ( x + y ( x ) ) * ( 1 + y ' ( x ) ) = 2 y ( x ) * y ' ( x )

⇒ c o s ( x + y ( x ) ) = y ' ( x ) ( 2 y ( x ) - c o s ( x + y ( x ) ) )

Logo

⇒ c o s ( x + y ( x ) ) ( 2 y ( x ) - c o s ( x + y ( x ) ) ) = y ' ( x )

Passo 3

Agora que temos nossa derivada,

c o s ( x + y ( x ) ) ( 2 y ( x ) - c o s ( x + y ( x ) ) ) = y ' ( x )

podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente no ponto ( 0,0 )

Logo,

c o s ( 0 ) ( 2 * 0 - c o s ( 0 ) = y ' ( 0 )

= - 1

Logo, nossa reta tangente é dada por

y = - 1 x

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = - 1 x

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