UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes
3. Extras
b) Considere a função definida por
Determine a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão temos uma função é definida por uma integral:
E daí precisamos achar a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
Quando a gente fala de reta tangente já lembra de derivada.
Podemos representar a equação da reta por:
E pra reta tangente a uma função temos a relação de que o coeficiente angular da reta é a derivada da função no ponto de tangência, então, como o ponto de tangência é :
Maaas pra calcular a derivada dessa função, por ser uma integral, usaremos o Teorema fundamental do cálculo:
Onde:
Mas vamos botar a mão na massa pra ficar mais fácil de enxergar...
Passo 2
Como e , então a derivada de :
Mas queremos no ponto , então:
Passo 3
Colocando na equação da reta, com
Maaaas falta encontrar o valor de , certo?
Podemo usar o ponto de tangência, né? Nesse ponto, a equação da reta é igual ao valor da função. Então pra com vai ser igual a :
Passo 4
Resolvendo essa integral aí conseguimos achar o valor de .
Calma, calma... Antes de tentar resolver essa integral meio feia, repara que os limites de integração são simétricos. Hummmm... temos propriedades de integrais com limites de integração simétricos, né?
Quando temos a integral de uma função ímpar com os limites de integração simétricos, a integral vale ZERO...
Como seno é uma função ímpar, então:
Portanto:
Voltando pra equação da reta tangente: