Uma função y = y ( x ) é definida implicitamente por y 4 - y 2 + 4 sin ⁡ x y = 0 e pela condição y 0 = 1 . Calcule y ' ( 0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar y ' ( 0 ) , da função y 4 - y 2 + 4 sin ⁡ x y = 0 , que tem y 0 = 1 .

Pra isso, vamos precisar derivar implicitamente a função e aplicar o ponto x = 0 e y = 1 . Pra derivar implicitamente a gente deriva normalmente em relação a x , usando as regras de derivação convencionais. Mas nos termos onde o y aparece, consideramos que ele é uma função de x ( y ( x ) ) e acrescentamos o termo y ' (que representa a derivada de y em relação a x ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando y 4 - y 2 + 4 sin ⁡ x y = 0 :

d d x ( y 4 - y 2 + 4 sin ⁡ x y = d d x ( 0 )

No lado direito, como temos uma constante, o valor da derivada será nulo também. No lado esquerdo, vamos separar as derivadas de cada termo da soma:

d d x y 4 - d d x y 2 + d d x 4 sin ⁡ x y = 0

Derivando cada termo como uma função de x , vamos ter:

4 y 3 y ' - 2 y y ' + 4 cos ⁡ x y y + x y ' = 0

Repare que em 4 sin ⁡ x y a gente aplica a regra da cadeia junto com a regra do produto na derivação, beleza? Agora substituindo x = 0 e y = 1 na equação, temos:

4 ( 1 ) 3 y ' - 2 ( 1 ) y ' + 4 cos ⁡ 0 ∙ 1 1 + 0 ∙ y ' = 0

4 y ' - 2 y ' + 4 = 0

Isolando y ' :

2 y ' = - 4

y ' = - 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' 0 = - 2

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