Mostre que f x = x 5 + 7 1 / 3 para x > 0 é invertível e calcule f - 1 ' ( 2 ) . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 no ponto ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função f ( x ) é invertível, calcular a derivada da inversa dela em y = 2 e encontrar a reta tangente ao gráfico da inversa no ponto ( 2 ,   1 ) .

Pra determinar se f é invertível, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que diz que se f ( x ) é derivável e f ' x ≠ 0 , então f ( x ) possui inversa. Além disso, temos a relação entre as derivadas das funções:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

A partir dessa relação vamos encontrar f - 1 ' ( 2 ) e a reta tangente ao gráfico no ponto dado.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando f x = x 5 + 7 1 / 3 , usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 1 3 x 5 + 7 1 3 - 1 ∙ x 5 + 7 '

f ' x = 5 x 4 3 x 5 + 7 2 / 3

Como a derivada é positiva para todo x , a função é crescente e portanto injetiva. Assim, pelo Teorema da Função Inversa, f possui inversa.

Passo 3

Agora, como a gente quer encontrar f - 1 ' ( 2 ) , vamos verificar o valor da função f ( x ) quando y = 2 :

x 5 + 7 1 / 3 = 2

Elevando ao cubo dos dois lados:

x 5 + 7 = 8

x 5 = 8 - 7 = 1

Tirando a raiz de índica 5 :

x = 1 5 = 1

Assim, f 1 = 2 e f - 1 2 = 1 .

Passo 4

Mas calma que ainda não acabou, porque a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, pra isso vamos usar a relação:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Para x = 1 e y = 2 , teremos:

f ' 1 = 1 f - 1 ' 2

→   f - 1 ' 2 = 1 f ' 1

Encontrando f ' ( 1 ) em f ' x = 5 x 4 3 x 5 + 7 2 / 3 , temos:

f ' 1 = 5 ( 1 ) 4 3 1 5 + 7 2 / 3 = 5 3 ∙ 8 2 3 = 5 12

Então, nossa inversa será:

f - 1 ' 2 = 1 5 12 = 12 5

Passo 5

Pra encontrar a equação da reta tangente no ponto ( 2 ,   1 ) , vamos usar a equação:

y - f - 1 ( 2 ) = m ( x - 2 )

Onde o coeficiente angular m é a derivada da função inversa no ponto dado, que nós encontramos no passo anterior, f - 1 ' 2 = 12 5 . Além disso, a gente viu no passo 3 que f - 1 2 = 1 . Substituindo na nossa equação da reta, temos:

y - 1 = 12 5 ( x - 2 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 ' 2 = 12 5

y - 1 = 12 5 ( x - 2 )

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