UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.3.2
Mostre que para é invertível e calcule . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é invertível, calcular a derivada da inversa dela em e encontrar a reta tangente ao gráfico da inversa no ponto .
Pra determinar se é invertível, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que diz que se é derivável e , então possui inversa. Além disso, temos a relação entre as derivadas das funções:
A partir dessa relação vamos encontrar e a reta tangente ao gráfico no ponto dado.
Vamos lá!
Passo 2
Derivando , usando a regra da cadeia, temos:
Como a derivada é positiva para todo , a função é crescente e portanto injetiva. Assim, pelo Teorema da Função Inversa, possui inversa.
Passo 3
Agora, como a gente quer encontrar , vamos verificar o valor da função quando :
Elevando ao cubo dos dois lados:
Tirando a raiz de índica :
Assim, e .
Passo 4
Mas calma que ainda não acabou, porque a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, pra isso vamos usar a relação:
Para e , teremos:
Encontrando em , temos:
Então, nossa inversa será:
Passo 5
Pra encontrar a equação da reta tangente no ponto , vamos usar a equação:
Onde o coeficiente angular é a derivada da função inversa no ponto dado, que nós encontramos no passo anterior, . Além disso, a gente viu no passo que . Substituindo na nossa equação da reta, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉