USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP – Lista 1, Questão 3.32
Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola , () tem como interseção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma parábola e disse que temos pontos de tangência pertencentes a essa parábola, que a gente pode chamar assim:
A interseção da retas de tangência está sobre uma reta vertical que passa entre os pontos e , no ponto médio entre as retas. É isso que queremos demonstrar.
Vamos lá!
Passo 2
Para escrever a reta tangente, a gente precisa da derivada da função da parábola , que será dada por:
Agora escrevendo a reta tangente que passa por , temos:
E a reta tangente que passa por :
Passo 3
Para encontrar a interseção dessas duas retas, vamos igualar as duas. Primeiro, isolando nas duas:
Agora igualando:
Colocando em evidência:
Simplificando:
Usando o produto notável do lado direito da equação:
Simplificando novamente:
Assim,
Essa igualdade nos mostra que a coordenada da interseção entre as retas de tangência passa pelo ponto médio das coordenadas dos pontos de tangência e . Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉