Mostre que as retas tangentes às curvas x^2 + 2xy + y^3 = 1 e y^2 + 9x - (x - 2)^3 - 9 = 0 no ponto (0, 1) são perpendiculares.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que as retas tangentes a cada curva, no ponto dado, são perpendiculares. Pra que elas sejam perpendiculares, o coeficiente angular de uma reta tangente à curva precisa ser igual ao recíproco negativo da outra, quer dizer, se o coeficiente angular de uma for x y (por exemplo), o da outra precisa ser - y x , sacou?

Pra achar esses coeficientes angulares, vamos derivar as equações das curvas implicitamente e aplicar o ponto x ,   y = ( 0 ,   1 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando implicitamente a equação da curva x 2 + 2 x y + y 3 = 1 :

d d x x 2 + 2 x y + y 3 = d d x 1

A gente deriva normalmente em relação a x , usando as regras de derivação de polinômios. Mas nos termos onde o y aparece, consideramos que ele é uma função de x ( y ( x ) ) e acrescentamos o termo y ' (que representa a derivada de y em relação a x ). Então, fica assim:

2 x + 2 y + 2 x y ' + 3 y 2 y ' = 0

Repare que nós usamos a regra do produto na derivada do termo 2 x y ali no meio, beleza? Agora substituindo o ponto x = 0 e y = 1 , temos:

2 ( 0 ) + 2 ( 1 ) + 2 ( 0 ) y ' + 3 ( 1 ) 2 y ' = 0

2 + 3 y ' = 0

Isolando y ' , que é o nosso coeficiente angular da reta tangente, vamos ter:

y ' = - 2 3

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa com a curva y 2 + 9 x - x - 2 3 - 9 = 0 e encontrar seu coeficiente angular. Então, derivando a equação implicitamente, temos:

d d x y 2 + 9 x - x - 2 3 - 9 = d d x ( 0 )  

2 y y ' + 9 - 3 x - 2 2 = 0

Aplicando x = 0 e y = 1 :

2 ( 1 ) y ' + 9 - 3 0 - 2 2 = 0

2 y ' + 9 - 12 = 0

Isolando o coeficiente angular y ' , temos:

2 y ' = 12 - 9

y ' = 3 2

Sendo assim, como o coeficiente angular de uma reta é o recíproco negativo da outra ( y ' = - 2 3 e y ' = 3 2 ), podemos dizer que as retas são perpendiculares no ponto, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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