UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.5.1
Mostre que as retas tangentes às curvas e no ponto são perpendiculares.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que as retas tangentes a cada curva, no ponto dado, são perpendiculares. Pra que elas sejam perpendiculares, o coeficiente angular de uma reta tangente à curva precisa ser igual ao recíproco negativo da outra, quer dizer, se o coeficiente angular de uma for (por exemplo), o da outra precisa ser , sacou?
Pra achar esses coeficientes angulares, vamos derivar as equações das curvas implicitamente e aplicar o ponto .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando implicitamente a equação da curva :
A gente deriva normalmente em relação a , usando as regras de derivação de polinômios. Mas nos termos onde o aparece, consideramos que ele é uma função de () e acrescentamos o termo (que representa a derivada de em relação a ). Então, fica assim:
Repare que nós usamos a regra do produto na derivada do termo ali no meio, beleza? Agora substituindo o ponto e , temos:
Isolando , que é o nosso coeficiente angular da reta tangente, vamos ter:
Passo 3
Agora vamos fazer a mesma coisa com a curva e encontrar seu coeficiente angular. Então, derivando a equação implicitamente, temos:
Aplicando e :
Isolando o coeficiente angular , temos:
Sendo assim, como o coeficiente angular de uma reta é o recíproco negativo da outra ( e ), podemos dizer que as retas são perpendiculares no ponto, como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉