UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1
Obtenha dois pontos P e Q pertencentes ao gráfico de g(x) = 2x³ − 3x² -3x para os quais as respectivas retas tangentes são paralelas à reta com equação y = 3x − 2.
Passo 1
E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!
para que as retas tangentes sejam paralelas à reta y = 3x − 2., a inclinação das retas tangentes deve ser igual à inclinação da reta y = 3x − 2., ou seja, m=3.
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função g(x)=2x³−3x²−3x
Depois, igualaremos a derivada a 3 e resolveremos para encontrar os pontos P e Q.
Passo 2
Encontrando a derivada de g(x):
Usando a regra de potência e a regra da soma para diferenciação, obtemos:
Passo 3
Igualando a derivada a 3 para encontrar os pontos de tangência:
Simplificando a equação:
Dividindo todos os termos por 6:
Passo 4
Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de x:
Isso nos dá duas soluções possíveis para x:
Agora que temos os valores de x, podemos encontrar os pontos correspondentes P e Q substituindo-os na função g(x):
Para x=2: P(2,g(2))=P(2,2³−3⋅2²−3⋅2)=P(2,−10)
Para x=−1: Q(−1,g(−1))=Q(−1,(−1)³−3⋅(−1)²−3⋅(−1))=Q(−1,1)
Resposta
Portanto, os pontos P e Q são P( 2,−10) e Q(−1,1), respectivamente. As retas tangentes aos pontos P e Q no gráfico de g(x) terão inclinações paralelas à reta y = 3x − 2