11.2

b) Obtenha a equação da reta tangente à curva dada por y * x^3 + x * y^2 + 2 * x * y + y + x^4 = 1 no ponto (1, -4) .

Passo 1

Falaa... tudo bem??

Nessa questão vamos achar a equação da reta tangente à curva y x 3 + x y 2 + 2 x y + y + x 4 = 1 no ponto 1 , - 4 .

Pra isso vamos lembrar que a equação da reta é representada pro:

y = a x + b

E que o a é o coeficiente angular e é a derivada da função dada naquele ponto dado, o d y d x .

Pra isso vamos usar derivação implícita.

Passo 2

Derivando y x 3 + x y 2 + 2 x y + y + x 4 = 1 implicitamente:

d y d x x 3 + y 3 x 2 + y 2 + x 2 y d y d x + 2 y + 2 x d y d x + d y d x + 4 x 3 = 0

x 3 d y d x + 3 x 2 y + y 2 + 2 x y d y d x + 2 y + 2 x d y d x + d y d x + 4 x 3 = 0

Agora isolamos o d y d x :

d y d x x 3 + 2 x y + 2 x + 1 + 3 x 2 y + y 2 + 2 x + 4 x 3 = 0

d y d x = 3 x 2 y + y 2 + 2 x + 4 x 3 x 3 + 2 x y + 2 x + 1

Substituindo o ponto 1 , - 4 :

d y d x = 3 1 2 - 4 + - 4 2 + 2 1 + 4 1 3 1 3 + 2 1 4 + 2 1 + 1

d y d x = 5 6

Então já temos o a da equação da reta:

a = 5 6

Passo 3

A equação da reta fica:

y = 5 6 x + b

Pra achar o b usamos o ponto 1 , - 4 , agora nessa equação:

- 4 = 5 6 1 + b

b = - 29 6

Então a equação da reta tangente será:

y = 5 6 x - 29 6

Resposta

y = 5 6 x - 29 6

Exercícios de Livros Relacionados