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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 38

As parábolas possuem duas retas tangentes comuns.

y   =   x 2   + x +   6   e   y   =   − x 2   +   3 x +   1

Determine as equações dessas retas tangentes.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é as equações das duas retas tangentes comuns as parábolas

y 1   =   x 1 2   + x 1 +   6   e   y 2   =   − x 2 2   +   3 x 2 +   1

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas das parábolas.

da primeira, temos:

y 1 '   =   2 x 1   + 1

da segunda, temos:

y ' 2   =   - 2 x 2   + 3

Logo, se a reta tangente é comum as duas parábolas. Isso quer dizer que ela tem o mesmo coeficiente angular. Isso acontece quando na primeira parábola,

2 x 1   + 1 = - 2 x 2 + 3

⇒ 2 x 1 + 2 x 2 = 2

x 1 + x 2 = 1

Logo,

x 1 = 1 - x 2

Ou seja, descobrimos a relação entre as entradas de x 1 e x 2 para as tangentes terem a mesma inclinação

Passo 3

Agora, vamos calcular as retas tangentes. Vamos supor que x 1 e y 1 , x 0 e y 0 são os pontos de tangência para cada gráfico. Então nossas retas tangentes serão

y - y 0 = ( 2 x 0 + 1 ) ( x - x 0 )

y - y 1 = ( 2 x 0 + 1 ) ( x - x 1 )

usando que

1 - x 0 = x 1 ,

e

y 1   =   − x 1 2   +   3 x 1 +   1

temos:

y = ( 2 x 0 + 1 ) ( x - x 0 ) +   x 0 2   + x 0 +   6

y = ( 2 x 0 + 1 ) ( x - x 1 ) − ( 1 - x 0 ) 2   +   3 ( 1 - x 0 ) +   1

Igualando as duas equações obtemos:

2 x 2 0 + 3 x 0 - 2 = 0

⇒ x 0 = - 2

⇒ x 0 = 1 / 2

Logo, as retas são:

y - 8 = - 3 ( x + 3 )

y - 27 / 4 = 2 ( x + 1 / 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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