UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 5.3
Em qual ponto do gráfico da função a reta tangente é horizontal?
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão pede para a gente determinar em qual ponto do gráfico da função y(x) a reta tangente à curva é horizontal. Ou seja, estamos procurando por um ponto de extremo da função, onde localmente ela não decresce nem cresce, pois sua taxa de variação é nula nesse ponto. Isso equivale a dizer que a derivada da função é zero! Então, o primeiro passo para determinar o ponto é calcular a função derivada de y(x) que, a cada ponto da curva, vai nos dar uma função que representa a inclinação da reta tangente naquele ponto. Bem… como a gente pode calcular a derivada dessa função? Utilizando a regra da cadeia! Se você olhar bem a nossa y(x), vai perceber que ela nada mais é do que a composição de 3 funções: , e . Então, para derivar a função em relação a x, fazemos
Então, a gente tem
Passo 2
Agora que já temos a função derivada, tudo que precisamos fazer é igualá-la à zero para determinar qual é o valor de x para o qual a reta tangente é paralela ao eixo x. Assim, temos
Como a função logarítmica só é nula quando seu argumento é igual à 1, temos que , e portanto, . Então, o ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo x, possui abscissa igual à -3. Agora ficou mole determinar o ponto! É só substituir x = -3 na nossa função y(x). Fazendo isso, obtemos que quando x=-3, . Dá só uma olhada no gráfico da função!