UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 8
Prove que as retas tangentes a uma elipse ou uma hipérbole interceptam esses conjunto apenas uma vez.
Passo 1
Olá meu caro amigo, me chamo Yuri e hoje irei lhe ajudar nessa questão. E para isso iremos abordar separadamente cada situação.
Vamos abordar a prova separadamente para elipses e hipérboles.
Retas Tangentes a uma Elipse:
Considere uma elipse com focos e um ponto sobre ela. Queremos mostrar que existe apenas uma reta tangente a essa elipse passando pelo ponto
A propriedade fundamental das elipses é que a soma das distâncias de qualquer ponto nos eixos principais até os dois focos é constante e igual ao comprimento do eixo maior da elipse.
Agora, suponha que tenhamos duas retas tangentes diferentes a partir do ponto . Cada uma dessas retas toca a elipse em um ponto. Considere os segmentos de linha de para esses pontos de tangência. Pela propriedade acima, a soma das distâncias de cada um desses pontos aos focos é a mesma constante (comprimento do eixo maior da elipse).
No entanto, isso levaria a um contraditório, pois teríamos dois pontos distintos (os pontos de tangência) com a mesma soma de distâncias aos focos, o que não é possível.
Portanto, chegamos à conclusão de que existe apenas uma reta tangente que passa pelo ponto na elipse.
Passo 2
Retas Tangentes a uma Hipérbole:
Semelhantemente, considere uma hipérbole com focos e um ponto sobre ela. Queremos mostrar que existe apenas uma reta tangente a essa hipérbole passando pelo ponto .
A propriedade fundamental das hipérboles é que a diferença das distâncias de qualquer ponto nos eixos principais até os dois focos é constante.
Suponha que tenhamos duas retas tangentes diferentes a partir do ponto cada uma tocando a hipérbole em um ponto. Considere novamente os segmentos de linha de para esses pontos de tangência. Pela propriedade acima, a diferença das distâncias de cada um desses pontos aos focos é a mesma constante.
Isso levaria a um contraditório, pois teríamos dois pontos distintos (os pontos de tangência) com a mesma diferença de distâncias aos focos, o que não é possível.
Portanto, chegamos à conclusão de que existe apenas uma reta tangente que passa pelo ponto na hipérbole.
Em ambos os casos, a propriedade geométrica fundamental das curvas (soma constante de distâncias para elipses e diferença constante de distâncias para hipérboles) garante que uma reta tangente intersecta essas curvas apenas uma vez.
Resposta
Ver o desenvolvimento.