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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

Quantas retas tangentes à curva y = x x + 1 passam pelo ponto 1 ,   2 ? Determine as equações dessas retas tangentes.

Passo 1

Já que temos um ponto pelo qual a(s) reta(s) passa(m), se acharmos os coeficientes angular e linear da(s) reta(s) conseguiremos encontrar sua(s) equação(ões). Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente a uma função em um ponto é igual à derivada dessa função nesse ponto. Então vamos derivar a função dada:

y ' = x + 1 - x x + 1 2 = 1 x + 1 2

Passo 2

A equação da reta tangente à curva em um ponto qualquer ( a ,   f a ) é

y   -   f ( a )   =   f ' ( a ) ( x   -   a )

Substituindo f ( a ) e f ' ( a ) obtemos

y   - a a + 1   =   1 a + 1 2 ( x   -   a )

Como temos o ponto ( 1 ,   2 ) pertencente à reta, podemos usá-lo usando os valores de x e y

2   - a a + 1   =   1 a + 1 2 1   -   a

2 a +   2   -   a a + 1 = 1 - a ( a + 1 ) ²

a + 2 = 1 - a a + 1

a 2 + 4 a + 1 = 0

a = - 2 ± 3

Passo 3

Agora que encontramos a podemos substitui-lo em

y   -   f ( a )   =   f ' ( a ) ( x   -   a )

para determinar as duas retas tangentes (são duas porque achamos dois valores para a ).

Primeiro vamos encontrar a reta tangente para a = - 2 + 3 :

y   -   - 2 + 3 - 2 + 3 + 1   =   1 - 2 + 3 + 1 2 ( x   - ( - 2 + 3 ) )

⇓

y   -   - 2 + 3 - 1 + 3   =   x + 2 - 3 - 1 + 3 2

Agora para a = - 2 - 3 :

y   -   - 2 - 3 - 2 - 3 + 1   =   1 - 2 - 3 + 1 2 ( x   - ( - 2 - 3 ) )

⇓

y   -   - 2 - 3 - 1 - 3   =   x + 2 + 3 - 1 - 3 2

Resposta

y   -   - 2 + 3 - 1 + 3   =   x + 2 - 3 - 1 + 3 2

y   -   - 2 - 3 - 1 - 3   =   x + 2 + 3 - 1 - 3 2

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