Questão 1:

a) Considere a função f : 0 ,   + ∞ → R dada por

f x = 3 x 2 x - 3

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 1 .

Passo 1

Bem, pela fórmula da reta tangente á um gráfico de função, temos:

y = f ' a x - a + f a

Esse a é sempre a coordenada x do ponto em questão, ou seja, o ponto em que estamos calculando a reta tangente:

a = 1

y = f ' 1 x - 1 + f 1

Repare que temos dois trabalhos a fazer basicamente:

1º - Calcular a derivada da função e aplicar no ponto.

2º - Calcular a função f no ponto: f 1 .

Então vêm comigo !

Passo 2

Começando com a primeira tarefa, vamos derivar a função...

f x = 3 x 2 x - 3

Poderíamos aplicar aí a regra da fração, mas é mais trabalhoso. Fica mais fácil se lembrarmos de que x = x 1 2 , e por divisão de potências de mesma base temos...

f x = 3 x 2 x 1 2 - 3 = 3 x 2 - 1 2 - 3

f x = 3 x 3 2 - 3

Derivando...

f ' x = 3 3 2 ⋅ x 3 2 - 1 =

9 x 1 2 2 =

9 x 2

Aplicando a derivada no ponto x = 1 ...

f ' x = 9 x 2         →           f ' 1 = 9 1 2 = 9 2        

Passo 3

Agora é mais tranquilo, basta aplicar o ponto na função...

f x = 3 x 2 x - 3

f 1 = 3 1 2 1 - 3 =

0

Passo 4

Voltando para a equação da reta...

y = f ' 1 x - 1 + f 1

e substituindo...

y = 9 2 x - 1       →

y = 9 x 2 - 9 2

Resposta

y = 9 x 2 - 9 2

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