UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 1.3
Refaça a Q10 de matemática da 2a fase do vestibular Unicamp 2021.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função e diz que a tangente dessa função no ponto é definida pela equação , onde .
Sabendo disso, a letra a) nos pede para encontrar os pontos do gráfico de cuja reta tangente é paralela à reta definida por .
Para isso, precisamos determinar os valores de que tornam a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente igual à inclinação da reta .
E aí? Bora lá??!!
😉
Passo 2
Assim, a inclinação da reta pode ser determinada comparando-a com a forma geral da equação de uma reta:
Onde é o coeficiente angular.
Nesse caso, temos que coeficiente angular de é dado por:
Ou seja, vemos que .
Passo 3
Lá do enunciado, sabemos que a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é dada por , onde .
Portanto, para que a reta tangente seja paralela à reta , precisamos que o coeficiente angular da reta tangente, seja igual a . Dessa forma, temos:
Portanto, os pontos do gráfico de cuja reta tangente é paralela à reta são os pontos onde e .
Passo 4
Agora, podemos encontrar as coordenadas correspondentes substituindo esses valores de na função :
Para :
Logo, temos que o ponto aqui é .
Para :
Ou seja, o ponto aqui é .
Portanto, os pontos do gráfico de cuja reta tangente é paralela à reta são e .
Agora vamos para a letra b)!!
Passo 5
Sabendo que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de no ponto é , podemos usar a equação da reta tangente para determinar os pontos de interseção com o gráfico de .
Lembrando que a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é dada por:
Onde é o coeficiente angular da reta tangente.
Portanto, temos a seguinte equação para a reta tangente:
Passo 6
Para encontrar os pontos de interseção, precisamos igualar essa equação à função
E resolver para .
Assim, igualando as equações, temos:
Substituindo novamente , temos:
Portanto, temos a relaçãoentre os pontos de interseção da reta tangente com o gráfico de .
Passo 7
Para encontrar os pontos de interseção, podemos substituir essa relação em uma das equações e resolver para e.
Substituindo na equação da reta tangente, temos:
Simplificando, temos:
Portanto, os pontos de interseção são dados por:
Lembrando que , podemos substituir diferentes valores de a para obter os pontos de interseção correspondentes.
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
- e