UFSC, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Derivadas - Lista 2.1 - Tangente e Vel. Instantânea, Questão C12
A reta normal ao gráfico de uma função em um ponto é definida como a reta que passa por e é perpendicular à reta tangente ao gráfico da função em . Ache uma equação da reta normal ao gráfico de no ponto de abscissa .
Passo 1
Eaew, tudo bem com você?
O enunciado nos dá uma definição de reta normal ao gráfico de uma função em um ponto , como a reta perpendicular a reta tangente que passa neste mesmo ponto. E, definindo a função como
pede para que encontremos a reta normal no ponto de abscissa . Beleza! Como fazemos isso? Vamos utilizar a própria definição dada pelo enunciado, vamos obter a reta tangente e procurar uma reta que seja perpendicular a ela! Certinho? Vamos lá!
Passo 2
Temos que a reta tangente tem a seguinte equação
em que é o ponto em que vamos calcular a nossa reta tangente. Tendo em vista que estamos calculando para a reta tangente no ponto , a reta normal relacionada é dada por
em que
Note que podemos usar a definição acima para calcular , ou você pode usar regras mais avançadas de derivação, no entanto, como esta lista de exercícios está trabalhando com os conceitos mais básicos de derivação, vamos aplicar a definição acima, belezinha? Bora lá!
Passo 3
Usando que , obtemos que
Ou, simplificando, temos que
Se avaliarmos o limite acima em , temos que
e, a reta normal tem o seguinte formato
Falta agora apenas terminar alguns detalhes! Vamo que vamo!
Passo 4
Usando que o nosso ponto é e que , temos que
A nossa reta normal se torna então
Ou simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!