Sabe-se que a reta y = 8x - 17 é tangente à curva y = f(x) = (1 / 3)x^3 + 2x^2 + 12x + (d / 3) . O valor de d é:

a - 41

b - 39

c - 43

d - 40

e - 42

Passo 1

Falaaaa, blzz?? Bora lá para mais uma questãozinha dessa prova. Vamos notar que nesse problema ele nos passa uma reta que é tangente a uma curva, você se lembra de algo que envolve esses conceitos?

Dizemos que uma reta é tangente a uma curva, quando a derivada da curva NO PONTO DE TANGÊNCIA é igual o gráfico de uma curva é tangente a uma reta quando a sua derivada é igual ao coeficiente angular da reta.

Trazendo para essa questão, o que estamos dizendo é:

Existe x tal que:

f ' x = 8

Onde 8 é o coeficiente angular da reta y = 8 x - 17

Passo 2

Ou seja, vamos calcular f ' x e igualar a 8.

f x = 1 3 x 3 + 2 x 2 + 12 x + d 3

f ' x = 1 3 3 x 2 + 2 2 x + 12 1 + d 3 0

Por isso, temos:

f ' x = x 2 + 4 x + 12

Igualando ao ao coeficiente angular da reta:que foi dito:

x 2 + 4 x + 12 = 8

x 2 + 4 x + 4 = 0

Se a gente fatorar, ficamos com:

x + 2 2 = 0

Daqui tiramos que x = - 2 .

Ou seja, a reta do enunciado é tangente a curva no ponto com x = - 2

Passo 3

Agora mais um conceito importante, dizemos que a reta é tangente a curva então elas se cruzam nesse ponto, ou seja:

y r e t a = y c u r v a = f ( x )

Mas isso ocorre para x = - 2 , ou seja:

8 - 2 - 17 = 1 3 - 2 3 + 2 - 2 2 + 12 - 2 + d 3

E daqui tiramos que d =   - 43 , chegando ao fim de mais um probleminha dessa prova, bora continuar?

Resposta

Letra C

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