3.34. Seja f : I → R derivável, onde I é um intervalo aberto contendo x = -1 . Suponha que f³(x) - f²(x) + x * f(x) = 2 , para todo x I . Encontre f(-1) e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1, f(-1)) .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter o valor da função f - 1 e obter a equação da reta tangente a essa função no ponto - 1 , f - 1 . Porém a função é dada por f 3 x - f 2 x + x f x = 2 .

Como podemos fazer isso? 🤔🤔

Para obter a reta tangente a uma função, aplicamos a equação da reta, ou seja

y - y 0 = m x - x 0

Onde m é o coeficiente angular da reta, ou seja, a tangente de f e x 0 e y 0 são nos pontos - 1 e f - 1 .

Porém a grande questão é: Como vamos obter a função f - 1 ?

Bora ver!

Passo 2

Se pegarmos a equação da função e substituir f x por uma variável y e x por - 1 , podemos reescrever a equação como

f 3 x - f 2 x + x f x = 2 → y 3 - y 2 - y = 2

Agora só precisamos obter as raízes dessa nova equação...

y 3 - y 2 - y = 2 → y - 2 y 2 + y + 1 = 0

Portanto, podemos tirar que y = 2 de y - 2 = 0 e da equação y 2 + y + 1 = 0 não temos raízes reais, então podemos descartá-lo

Assim, podemos afirmar que

f - 1 = 2

Agora falta encontrarmos a derivada de f . Pra isso, podemos derivar a equação f 3 x - f 2 x + x f x = 2 em função de x pela regra da cadeia e aplicando a regra do produto na derivada de x f x

Preparado? 👀

Passo 3

A regra da cadeia é obtida calculando a derivada da função interna e multiplicando pela derivada da função externa, ou seja

d f x 3 d f x · d f x d x - d f x 2 d f x · d f x d x + d x d x · f x + x · d f x d x = d 2 d x

Tratando f x como uma variável u qualquer, podemos simplificar as contas nas derivadas com relação a f x

d u 3 d u · d f x d x - d u 2 d u · d f x d x + d x d x · f x + x · d f x d x = d 2 d x

3 u 2 · f ' x - 2 u · f ' x + 1 · f x + x · f ' x = 0

3 f x 2 f ' x - 2 f x f ' x + f x + x f ' x = 0

Vamos isolar tudo de tiver f ' x em um lado da igualdade

3 f x 2 f ' x - 2 f x f ' x + x f ' x = - f x

3 f x 2 - 2 f x + x f ' x = - f x

Isolando f ' x ...

f ' x = - f x 3 f x 2 - 2 f x + x

Por fim, substituindo x por - 1 , temos

f ' x = - 2 3 2 2 - 2 2 - 1

f ' x = - 2 7

Muito legal, né!? 😁

E como já temos os pontos x 0 , y 0 e m , vamos substituir na equação da reta

y - y 0 = m x - x 0

y - 2 = - 2 7 x - - 1

y = - 2 7 x + 1 - 2

y = - 2 7 x - 16 7

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y = - 2 7 x - 16 7

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