USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 3.34.
3.34. Seja derivável, onde é um intervalo aberto contendo . Suponha que , para todo ∈ . Encontre e a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema temos que obter o valor da função e obter a equação da reta tangente a essa função no ponto . Porém a função é dada por .
Como podemos fazer isso? 🤔🤔
Para obter a reta tangente a uma função, aplicamos a equação da reta, ou seja
Onde é o coeficiente angular da reta, ou seja, a tangente de e e são nos pontos e .
Porém a grande questão é: Como vamos obter a função ?
Bora ver!
Passo 2
Se pegarmos a equação da função e substituir por uma variável e por , podemos reescrever a equação como
Agora só precisamos obter as raízes dessa nova equação...
Portanto, podemos tirar que de e da equação não temos raízes reais, então podemos descartá-lo
Assim, podemos afirmar que
Agora falta encontrarmos a derivada de . Pra isso, podemos derivar a equação em função de pela regra da cadeia e aplicando a regra do produto na derivada de
Preparado? 👀
Passo 3
A regra da cadeia é obtida calculando a derivada da função interna e multiplicando pela derivada da função externa, ou seja
Tratando como uma variável qualquer, podemos simplificar as contas nas derivadas com relação a
Vamos isolar tudo de tiver em um lado da igualdade
Isolando ...
Por fim, substituindo por , temos
Muito legal, né!? 😁
E como já temos os pontos , e , vamos substituir na equação da reta
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
