Seja f derivável em R e seja g dada por g(x) = f(x) / x , x ≠ 0 . Suponha que x₀ é ponto crítico

de g . Prove que

x₀ f′(x₀) - f(x₀) = 0

Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abscissa x_0 passa pela origem.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos provar que se g ( x )   =   f ( x ) / x , x ≠   0 e   x 0 é ponto crítico de g

então

x 0   f ′ ( x 0 )   −   f ( x 0 )   =   0

Queremos provar que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abscissa x 0 passa pela origem.

Bem, vamos resolver!!!

Passo 2

Vamos começar calculando o ponto crítico de g

g ( x )   =   f ( x ) / x ,

derivando e igualando a zero, temos:

f ' ( x ) x - f ( x ) x ² = 0

⇔ x f ' ( x ) - f ( x ) = 0

Logo se x 0 é ponto crítico, satisfaz

x 0   f ′ ( x 0 )   −   f ( x 0 )   =   0

⇒ f ′ ( x 0 ) =   f ( x 0 )   / x 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a reta tangente a f no ponto ( x 0 , f ( x 0 ) )

Pela equação da reta tangente, temos:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

desenvolvendo, temos:

⇒ y + x 0 f ' ( x 0 ) - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) x

Logo

⇒ y = f ' ( x 0 ) x

Que passa pela origem quando x = 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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