Seja g x = ln ⁡ 2 + 3 x . Determine o que se pede, justificando adequadamente o que não há.

( c ) g ' x

( d ) A função g é inversível?

( e ) Determine uma expressão para a inversa de g .

( f ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico g - 1 , a função inversa de g , em g 0 , 0 .

Passo 1

( c ) Vamos derivar a função g x pela Regra da Cadeia:

g ' x = ln ⁡ 2 + 3 x '

= 1 2 + 3 x 2 + 3 x '

= 1 2 + 3 x ln ⁡ 3 3 x 2 2 + 3 x

= ln ⁡ 3 2 3 x 2 + 3 x

Eis a nossa derivada.

Passo 2

( d ) Para provar que uma função é invertível temos duas maneiras de fazer: ou provamos que ela é sobrejetiva, o que vai dar mais trabalho, ou analisamos se ela tem sempre derivada diferente de 0 . Repara que esse é justamente o caso de g ' ( x ) , é uma divisão de fatores que serão sempre positivos, gerando necessariamente um número positivo! Sendo assim,

g ' x ≠ 0

Para todos o seu domínio, o que faz com que g seja invertível.

Passo 3

( e ) O objetivo agora é achar essa inversa, vamos lá:

g x = ln ⁡ 2 + 3 x

y = ln ⁡ 2 + 3 g - 1 y

e y = 2 + 3 g - 1 y

e 2 y - 2 = 3 g - 1 y

g - 1 y = log 3 ⁡ ( e 2 y - 2 )

Passo 4

( f ) Buscamos a reta tangente a g - 1 ( x ) no ponto g 0 , 0 , ou seja

g 0 , 0 = ln ⁡ 2 + 3 0 , 0

= ln ⁡ 3 , 0

Sabemos que a derivada da inversa de uma função vale:

g - 1 ' y = 1 g ' x

Logo, no ponto dado y , x = ln ⁡ 3 , 0 temos que

g - 1 ' ln ⁡ 3 = 1 g ' 0

= 1 ln ⁡ 3 2 3 0 2 + 3 0

= 6 ln ⁡ 3

Ok, então o coeficiente angular da reta tangente a g - 1 ' y em y = g 0 vai valer a = 6 ln ⁡ 3 .

Para descobrir o b de nossa reta x = a y + b devemos usar o ponto y , x = ln ⁡ 3 , 0 :

0 = 6 ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 + b

b = - 6 ln ⁡ 3 ln ⁡ 3

Logo, a reta será

x = 6 ln ⁡ 3 y - ln ⁡ 3

A título de notação, a reta pode ser escrita trocando x e y , como se ao invés de inverter num mesmo diagrama a função nós fizéssemos g - 1 também em função de x e não de y , como eu fiz nessa questão. Ou seja, também é válido escrever:

y = 6 ln ⁡ 3 x - ln ⁡ 3

Resposta

c   g ' x = ln ⁡ 3 2 3 x 2 + 3 x

d   S i m .

e   g - 1 y = log 3 ⁡ ( e 2 y - 2 )

f   y = 6 ln ⁡ 3 x - ln ⁡ 3

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