Regras de Derivação II
Seja . Determine o que se pede, justificando adequadamente o que não há.
A função é inversível?
Determine uma expressão para a inversa de .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico , a função inversa de , em .
Passo 1
Vamos derivar a função pela Regra da Cadeia:
Eis a nossa derivada.
Passo 2
Para provar que uma função é invertível temos duas maneiras de fazer: ou provamos que ela é sobrejetiva, o que vai dar mais trabalho, ou analisamos se ela tem sempre derivada diferente de . Repara que esse é justamente o caso de , é uma divisão de fatores que serão sempre positivos, gerando necessariamente um número positivo! Sendo assim,
Para todos o seu domínio, o que faz com que seja invertível.
Passo 3
O objetivo agora é achar essa inversa, vamos lá:
Passo 4
Buscamos a reta tangente a no ponto , ou seja
Sabemos que a derivada da inversa de uma função vale:
Logo, no ponto dado temos que
Ok, então o coeficiente angular da reta tangente a em vai valer .
Para descobrir o de nossa reta devemos usar o ponto :
Logo, a reta será
A título de notação, a reta pode ser escrita trocando e , como se ao invés de inverter num mesmo diagrama a função nós fizéssemos também em função de e não de , como eu fiz nessa questão. Ou seja, também é válido escrever: