3.33. Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação x^2 = y^3 (2 - y) . Admitindo que f é derivável, determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto 1,1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a equação da reta tangente à curva dada pela equação x 2 = y 3 2 - y no ponto 1,1 .

Como vamos fazer isso? 🤔

Para calcular a reta tangente à curva, temos que lembrar de como é a estrutura de uma reta, ou seja y - y 0 = m x - x 0 onde m é o coeficiente angular.

m pode ser definido como a derivada da curva, mas para obter a derivada da curva, temos que aplicar o método da derivada implícita

y ' = - ∂ f x ∂ f y

Sacou? 😉

Passo 2

Vamos começar passando todos os termos para um lado da equação

x 2 = y 3 2 - y → y 3 2 - y - x 2 = 0

Assim, criando uma função f x = 0 , temos

f x = 0 = y 3 2 - y - x 2

f x = y 3 2 - y - x 2

f x = 2 y 3 - y 4 - x 2

Derivando parcialmente com relação a x pelo método de derivação polinomial, temos

∂ f x = - 2 x

Fazendo o mesmo com relação a y

∂ f y = 6 y 2 - 4 y 3

Substituindo na derivada implícita, temos

y ' = - - 2 x 6 y 2 - 4 y 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, para obter m , aplicamos o ponto 1,1 em y '

m = y ' 1,1 = - - 2 1 6 1 2 - 4 1 3

m = - - 2 2

m = 1

Por fim, substituindo na equação da reta com y 0 = 1 e x 0 = 1 que são as coordenadas do ponto, temos

y - y 0 = m x - x 0 → y - 1 = 1 x - 1

y - 1 = x - 1

y = x

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y = x

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