Seja f : R → R a função dada por f x = x sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0 . Para quantos valores de x o gráfico de f tem reta tangente horizontal?

  1. Nenhum
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. Infinitos

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função definida por partes aqui

f x = x sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

E perguntou para quais valores de x temos uma reta tangente horizontal.

você lembra o que significa uma reta ser horizontal?

Significa que o coeficiente angular da reta é zero! E qual é o coeficiente angular da reta tangente de uma função? A derivada dessa função!

Então na verdade o que queremos é saber onde a derivada dessa função é zero!

Bora começar?

Passo 2

A parte diferente de zero da função é

f x = x sin ⁡ 1 x

Derivando temos

f ' x = 1 . sin ⁡ 1 x + x . cos ⁡ 1 x . - 1 x 2

E igualando a zero temos

sin ⁡ 1 x = 1 x cos ⁡ 1 x → tan ⁡ 1 x . x = 1

Isso é uma equação transcendental que envolve uma função que se repete (tangente), ou seja, temos infinitos pontos

Então a alternativa correta é (e)

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e

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