UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.5.5b
Seja uma função definida pela equação
(b) Existem pontos dessa curva onde a reta tangente é vertical? Justifique.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se existem pontos dessa curva onde a reta tangente é vertical.
Como uma linha vertical tem inclinação infinita, e a derivada da função representa essa inclinação, escrevendo , quando , . Isso significa que a reta tangente será vertical.
No item (a), nós calculamos essa reta tangente derivando a equação da curva implicitamente e obtivemos . Sendo assim, pra que essa reta seja vertical, teremos:
Esse produto é verdadeiro se ou . Mas , não corresponde a nenhum ponto da nossa curva , porque se a gente substituísse, obteríamos (o que não faz sentido, né?). Sendo assim, vamos ter apenas como condição.
Usando essa relação, conseguimos encontrar valores de e que definem nossa reta vertical.
Vamos lá!
Passo 2
Partindo de , temos:
Substituindo esse valor na equação da curva, vamos ter:
E chegamos na equação do segundo grau:
Repare que na verdade são duas equações, uma positiva e uma negativa . Mas na equação positiva, teremos e, portanto, nossas raízes serão complexas. Então, vamos nos ater aos valores reais de que são solução da equação negativa .
Usando Bháskara, encontramos:
E os tais que são:
Com .
Então, existem pontos dessa curva onde a reta tangente é vertical.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉