Seja a função f(x) = 3x + 2:

a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto x = −1.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado está pedindo para a gente determinar a reta tangente ao gráfico da nossa função. Para isso, vamos primeiro determinar aqui a equação geral da reta tangente para entender o que será feito:

y = f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Aonde:

x 0 → P o n t o   d a d o   n o   e n u n c i a d o

f ' x → D e r i v a d a   d a   F u n ç ã o

O ponto dado no enunciado é x 0 = - 1 . Para começar, vamos substituir o valor de x na função:

f x = 3 x + 2

f - 1 = - 3 + 2 = - 1

Substituindo:

y = f - 1 + f ' ( - 1 ) ( x - ( - 1 ) )

y = - 1 + f ' ( - 1 ) ( x + 1 )

Passo 2

Show, agora vamos derivar a nossa função. Para isso, vamos usar a definição de derivada:

f ' x = lim Δx → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

f x = 3 x + 2

Substituindo:

f ' x = lim Δx → 0 ⁡ ( 3 x + Δ x + 2 ) - ( 3 x + 2 ) Δ x

f ' x = lim Δx → 0 ⁡ 3 x + 3 Δ x + 2 - 3 x - 2 Δ x

f ' x = lim Δx → 0 ⁡ 3 Δ x Δ x = lim Δx → 0 ⁡ 3 = 3

Show, achamos a derivada da nossa função. Como não há nenhuma variável nela, vamos descobrir que:

f ' - 1 = 3

Logo:

y = - 1 + f ' ( - 1 ) ( x + 1 )

y = - 1 + 3 ( x + 1 )

y = 3 x + 2

Resposta

y = 3 x + 2

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