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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.3.6b

6. Seja f x = 1 a r c t a n log ⁡ x para x > 0 .

(b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 no ponto π 2 , f - 1 π 2 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada uma função f x e anteriormente calculamos a derivada da função inversa de f x em x = π / 2 e agora queremos obter a reta tangente da função inversa no ponto π 2 , f - 1 π 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 👀

A equação da reta tangente é dada por

y - y 0 = m x - x 0

No caso, y 0 = f - 1 π 2 e x 0 = π 2 .

Já o coeficiente angular é dado pela derivada de f - 1 em x = π 2 .

Vamos buscar essas variáveis pra começar! 😉

Passo 2

Reescrevendo a equação da reta tangente para o nosso caso, temos

y - f - 1 π 2 = f - 1 π 2 x - π 2

Primeiro vamos calcular f - 1 π 2

Anteriormente calculamos f - 1 como

f - 1 x = e tan ⁡ 1 y

Substituindo x = π / 2 ...

f - 1 π 2 = e tan ⁡ 1 π 2

f - 1 π 2 = 2,09

Além disso, calculamos a derivada da função inversa como

f - 1 ' x = - x a r c t a n 2 log ⁡ x log ⁡ x 2 + 1

Aplicando o ponto π / 2 ...

f - 1 ' π 2 = - π 2 a r c t a n 2 log ⁡ π 2 log ⁡ π 2 2 + 1

f - 1 ' π 2 = - 0,34

Substituindo essas informações na equação da reta tangente, vamos obter

y - f - 1 π 2 = f - 1 π 2 x - π 2

y - 2,09 = - 0,34 x - π 2

y = - 0,34 x + 1,55

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

y = - 0,34 x + 1,55

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