Sejam f x = arctan ⁡ x e r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3 . Um ponto que pertence a essa reta é:

  1. 0 , π 3 - 3 8
  2. 0 , π 6 - 3 8
  3. 0 , π 3 + 3 8
  4. 0 , π + 5 3 6
  5. 0 , π - 5 3 6

Passo 1

Bora lá. Como tá falando de reta tangente, o que precisamos mesmo é estabelecer a equação genérica da reta. Vamos ter:

y = a x - x 0 + y 0

Onde a = f ' x 0 é o coeficiente angular da reta e P = x 0 , y 0 é o ponto de tangência. Como sabemos a abcissa do ponto de tangência, pra achar a coordenada basta fazer:

y 0 = f x 0 = arctan ⁡ x 0

y 0 = arctan ⁡ 3 = π 3

E logo:

y = f ' 3 x - 3 + π 3

Pra gente fechar essa modelagem, falta só achar f ' 3 .

Passo 2

Pra encontrarmos o coeficiente angular, bora derivar a função. Pela regra da cadeia, vamos ter:

f ' x = arctan ⁡ x '

f ' x = 1 x 2 + 1 x '

f ' x = 1 x + 1 ∙ 1 2 x

Substituindo x = 3 :

f ' 3 = 1 3 + 1 ∙ 1 2 3 = 1 4 ∙ 1 2 3 = 1 8 3 = 3 8 ∙ 3 = 3 24

E a equação da reta tangente ta completa! Vamos ter:

y = 3 24 x - 3 + π 3

Agora, pra gente ver qual dos pontos do enunciado faz parte dessa reta, basta a gente notar que todos eles tem x = 0 . A resposta certa vai ser então a que tiver o valor de y correspondente a:

y = 3 24 0 - 3 + π 3

y = - 3 8 + π 3

E é na letra A que vemos um ponto com essa coordenada y

Resposta

L e t r a   A

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Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
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