USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.27
7.27. (Transferência Fuvest 2012) Seja . Então, o coeficiente angular máximo das retas tangentes ao gráfico de é
a. ;
b. ;
c. ;
d. ;
e. .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos obter o coeficiente angular máximo das retas tangentes ao gráfico de .
E aí, tem ideia do que fazer? 🤔
Se a função é dada por
Temos que lembrar que o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico é obtido a partir da derivada de .
Assim, derivando podemos obter a equação que descreve todos os coeficientes angulares das retas tangentes de .
Mas e como vamos obter o maior deles? 🤔
Passo 2
Para obter o maior deles, vamos derivar a função dos coeficientes e igualar a .
Ou seja, no fim das contas, precisamos derivar duas vezes e igualar a , a solução da equação encontrada poderá ser substituída na função dos coeficientes e encontrar o maior valor.
Vamos começar!
Derivando pela primeira vez, temos que pela regra do quociente...
Essa é a função dos coeficientes angulares.
Derivando essa função mais uma vez
Novamente pela regra do quociente, vamos obter
Igualando a
Logo, a única possibilidade dessa igualdade ser satisfeita é se
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Encontramos dois pontos para verificar em , primeiro e segundo
Para , substituímos na função dos coeficientes
Para vamos fazer a mesma coisa
Assim, entre as duas opções, vemos que é o maior valor de coeficiente angular de reta tangente a .
Para tendendo a não precisamos calcular pois em o polinômio no denominador é de maior grau que o numerador, logo, para tende a .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
b. ;