Usando as ideias dos exercícios C 8 , C 9 e C 10 ., explique de maneira informal por que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto de abscissa x 0 é

m = l i m x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 = l i m h → 0 f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ) h

Passo 1

Eaew, tudo bem com você?

O enunciado nos indica como referência três exercícios C 8 , C 9 e C 10 , todos eles pedem para construirmos gráficos de uma função f arbitrária em pontos específicos. Isto nos dá uma dica do procedimento para mostrarmos que o coeficiente angular da reta tangente é dado por

m = l i m x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 = l i m h → 0 f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ) h

A melhor maneira de percebermos isso é analisar o sistema graficamente! Vamos lá!

Passo 2

Podemos imaginar uma função arbitrária f que tenha uma gráfico qualquer como

Note que indiquei que para x → f ( x ) e x 0 → f ( x 0 ) , como de se esperar em uma função usual! Mas como isso nos ajuda? Se traçarmos uma reta que cruza os dois pontos indicados, obtemos

Note que esta reta azul não é tangente curva, mas se aproximarmos os pontos, ou seja, se fizermos que x se aproxime de x 0 , e portanto, f ( x ) → f ( x 0 ) , a reta será tangente à curva no ponto x 0 . Okay, e como escrevemos isso matematicamente? Saca só!

Passo 3

Vamos dar um zoom em nosso esquema próximo aos dois pontos, temos que

A definição geométrica de coeficiente angular é tal que

m = t g ( α )

Observando o triângulo retângulo acima, temos podemos usar que

m = t g ( α ) = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

podemos identificar os nossos catetos através do esquema

m = f ( x 0 ) - f ( x ) x - x 0 = - f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0

O sinal negativo aparece simplesmente porque em meu esquema escolhi um referencial em que a inclinação da reta é negativa! Belezinha?

Passo 4

O que obtivemos anteriormente é o coeficiente angular de uma reta qualquer, para que seja a reta tangente, precisamos então aproximar o máximo que pudermos x de x 0 , e portanto, temos que

m = - l i m x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0

Se usarmos a definição h = x - x 0 , podemos isolar x tal que

x = x 0 + h

e nestas condições quando x → x 0 , temos que h → 0 , portanto, obtemos o seguinte limite

m = - l i m x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 = - l i m h → 0 f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ) h

ou, equivalentemente, se escolhermos para montar o esquema, uma reta de inclinação positiva, temos

m = l i m x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 = l i m h → 0 f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ) h

Como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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