UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 2
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva , no ponto .
Passo 1
Faaaaala pessoal, como é que vocês estão?
Nessa questão precisamos determinar a equação de uma reta que seja tangente a curva:
No ponto .
Bom, equação de reta tangente tem tudo a ver com derivada. O problema é que essa curva dada é meio estranha, porque não dá pra isolar o . É por isso que vamos precisar usar a derivação implícita.
Ao realizarmos a derivação implícita nosso objetivo será encontrar , pois a equação da reta tangente deve ser dada por:
Depois que encontrarmos para encontrar basta substituir o ponto de tangência .
Eaí, vamo nessa?
Passo 2
Temos a curva:
Para derivá-la implicitamente, podemos fazer:
Vamos começar pelo lado esquerdo. Usando a regra da cadeia, e chamando de , o que precisamos fazer é:
Bora calcular cada um desses termos separadamente:
O primeiro termo já foi, já para o segundo termo precisamos usar que a derivada da subtração é a subtração das derivadas. Logo:
Perfeito! Substituindo tudo na nossa expressão principal, temos:
Passo 3
Voltando para a derivada da nossa curva, temos:
Já calculamos a derivada do lado esquerdo, vamos agora para o lado direito.
Usando novamente que a derivada da subtração é a subtração das derivadas, vem:
Tirando as constantes para fora, vem:
Excelente!
Juntando a derivada do lado esquerdo e do lado direito, ficamos com:
Vamos isolar :
Aí sim! Estamos no caminho certo!
Passo 4
Encontramos que:
Pode parecer um pouco estranho pois isso significa que depende dos valores de . Mas, faz sentido já que nossa própria curva é um pouco diferente. Sendo assim, para encontrar vamos usar o fato que queremos esse termo quando . Logo:
Ótimo!
Como vimos no passo , a equação da reta é dada por:
Logo:
Para descobrir o valor de basta usar que pertence a essa reta. Assim:
Logo:
Essa é a equação da reta tangente pedida no enunciado 😊
Eaí, curtiu a solução? Responde Aí!