Para cada item abaixo, encontre pelo menos duas funções a valores vetoriais r t = ( x t ,   y t ) e s t = ( α t ,   β t ) distintas satisfazendo a equação dada. (Conclui-se, assim, que uma parametrização de uma curva não é única.)

(c) x 2 + y 2 4 = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar duas parametrizações para a curva dada, usando o parâmetro t .

Repare que nós temos a equação de uma elipse, que tem a forma geral da equação:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Isolando x e y e usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , vamos ter:

x t = x 0 + a cos ⁡ t

y t = y 0 + b sin ⁡ t

Essa é a forma geral da parametrização que nós vamos usar para a elipse, variando o intervalo do parâmetro t .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha na nossa curva:

A nossa elipse é representada por:

x 2 + y 2 4 = 1

Comparando com a forma geral do passo anterior, x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 , temos a = 1 , b = 2 , x 0 = y 0 = 0 . Então, nossa parametrização será dada por:

x t = x 0 + a cos ⁡ t → x t = cos ⁡ t

y t = y 0 + b sin ⁡ t → y t = 2 sin ⁡ t

Mas falta o intervalo de t , sempre que parametrizamos alguma coisa, precisamos colocar o intervalo. Se quisermos rodar toda a elipse, temos:

r → t = cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ,     t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Mas poderíamos dar duas ou três voltas e aí uma outra parametrização possível seria:

s → t = cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ,     t ∈ [ 0 ,   4 π ]

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r → t = cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ,     t ∈ [ 0 ,   2 π ]

s → t = cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ,     t ∈ [ 0 ,   4 π ]

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