Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g(x) e em seguida determine o que se pede:

(i v) g(x) = ln(x) / x

h) Esboce o gráfico de g(x) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função g x = ln ⁡ x x , e pediu pra gente esboçar o gráfico dela.

Pra isso, vamos analisar nossa função, seus pontos críticos, de inflexão, assíntotas e onde ela intercepta os eixos do plano cartesiano.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, nos itens anteriores nós verificamos, derivando a função e igualando a zero, que temos um único ponto de máximo em e , 1 e . Nós também vimos que a função muda de concavidade em x = e 3 / 2 .

A gente sabe que x = 0 é um ponto crítico, porque a o denominador não pode zerar e o logaritimo de zero é indefinido. Mas quando x → 0 , podemos ter uma assíntota, então vamos verificar calculando o limite:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x x = - ∞ 0 = - ∞

E quando x → ∞ , vamos ter:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x →   ∞ ∞

Podemos aplicar L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x ' x ' = lim x → ∞ ⁡ 1 / x 1 = 0

Então, temos uma assíntota em x = 0 e em y = 0 .

Pra saber onde a função intercepta o eixo x , podemos fazer g x = 0 :

ln ⁡ x x = 0

ln ⁡ x = 0

Isso acontece quando x = 1 . Então, a função cruza o eixo x em 1 .

Com essas informações já podemos esboçar a função:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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