Considere a curva definida pela função vetorial
onde .
Mostre que a curva está contida em uma superfície quádrica. Identifique essa superfície e use esse fato para esboçar a curva .
Passo 1
Oi, tá bem? Esse tipo de exercício tem um passo a passo, aí só seguir que dá bom. A gente precisa identificar que essa curva está dentro da equação de uma quádrica, e qual quádrica é.
Dessa equação, a gente tira que
Como a gente tem termos parecidos no e no , um com seno e outro com cosseno, a gente pode começar tentando calcular , assim:
Aí a gente lembra da identidade trigonométrica que diz . E que . Aí nossa continha fica:
E isso é a equação de um cone, pois temos dois termos positivos quadráticos de um lado, e um termo do outro.
Passo 2
Agora a gente usa a informação de nossa curva dá dentro desse cone. Ele tem essa equação:
Por isso, vai estar centrado em , e o gráfico dele é:
Nossa curva está dentro dele. Mas repara que o enunciado diz que , e o nosso é
Isso significa que o só vai assumir valores negativos. E se a gente derivar esse :
Vemos que a taxa de variação dele é negativa, o que diz para gente que nossa curva vai estar descendo em relação ao eixo .
Passo 3
Só falta a gente achar o ponto inicial dessa curva:
Como , ela começa em :
Ou seja, ela sai da origem. Vimos também que ela está descendo, e como temos o seno no e o cosseno no , em relação ao plano , ela vai se mover em uma circunferência no sentido horário.
Aí desenhando a curva com essas características, a gente acha:
Repara que a gente desenhou um fim ali para ela, mas na real ela vai para , porque ela está definida em . Então ela vai descendo indefinidamente.
Arrasamos!
Resposta
cone
