Considere a curva plana dada por

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

a . Esboce a imagem da curva γ e o sentido do percurso. Sugestão: tente calcular em alguns pontos e ver se consegue visualizar a curva e o sentido do percurso, depois cheque usando algum aplicativo: desmos ou wolframalpha ou outro. O nome dessa curva é “caridióide” - você vai entender a razão!

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Essa questão é bastante direta, nos foi dada a seguinte curva

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

e, precisamos nesta alternativa

a . Esboce a imagem da curva γ e o sentido do percurso. Sugestão: tente calcular em alguns pontos e ver se consegue visualizar a curva e o sentido do percurso, depois cheque usando algum aplicativo: desmos ou wolframalpha ou outro. O nome dessa curva é “caridióide” - você vai entender a razão!

ou seja, vamos jogar valores para t dentro do intervalo [ 0,2 π ] e fazer um esboço do gráfico! Em particular, eu vou indicar os pontos no gráfico feito usando o geogebra por uma questão de apresentação, mas tente desenhar ligando os pontos como fazíamos em pré-cálculo, tudo bem? Vamos lá!

Passo 2

Vamos tentar alguns valores de t , em particular, vamos tentar os valores t = 0 , π / 6 ,   π / 4 , π / 2,3 π / 4,3 π / 2,2 π , saca só o que obtemos

γ ( 0 ) = ( s i n ( 0 ) - s i n ( 0 ) c o s ( 0 ) , s i n 2 ( 0 ) + c o s ( 0 ) ) = ( 0,1 )

ou seja, um ponto com coordenadas ( x , y ) , vamos continuar substituindo

γ ( π / 6 ) = ( s i n ( π / 6 ) - s i n ( π / 6 ) c o s ( π / 6 ) , s i n 2 ( π / 6 ) + c o s ( π / 6 ) ) = ( 0.07,1.11 )

ou seja, subimos um pouco na coordenada y e fomos para a direita na coordenada x . Mas isso ainda não é o suficiente, vamos continuar

γ ( π / 4 ) = ( s i n ( π / 4 ) - s i n ( π / 4 ) c o s ( π / 4 ) , s i n 2 ( π / 4 ) + c o s ( π / 4 ) ) = ( 0.21,1.21 )

continuamos subindo em y e indo para a direita em x . Agora para

γ ( π / 2 ) = ( s i n ( π / 2 ) - s i n ( π / 2 ) c o s ( π / 2 ) , s i n 2 ( π / 2 ) + c o s ( π / 2 ) ) = ( 1,1 )

Ora, o valor de y começou a diminuir e o valor de x continua aumentando! Ou seja, isso começa a indicar um sentido horário para o movimento da curva! Vamos colocar os valores que faltam e verificar

γ ( 3 π / 4 ) = ( s i n ( 3 π / 4 ) - s i n ( 3 π / 4 ) c o s ( 3 π / 4 ) , s i n 2 ( 3 π / 4 ) + c o s ( 3 π / 4 ) ) = ( 1.21 , - 0.21 )

e, também

γ ( 3 π / 2 ) = ( s i n ( 3 π / 2 ) - s i n ( 3 π / 2 ) c o s ( 3 π / 2 ) , s i n 2 ( 3 π / 2 ) + c o s ( 3 π / 2 ) ) = ( - 1,1 )

e, por último

γ ( 2 π ) = ( s i n ( 2 π ) - s i n ( 2 π ) c o s ( 2 π ) , s i n 2 ( 2 π ) + c o s ( 2 π ) ) = ( 0,1 )

o plot é da forma

Notou porque se chama cardióide? Perceba de A à F temos os pontos que calculamos, G é para 2 π e ele coincide com A . Portanto, o movimento é no sentido antihorário! A primeira alternativa foi essa! Te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica