Considere a curva plana dada por

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

b . O ponto mais à direita da curva é…

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Essa questão é bastante direta, nos foi dada a seguinte curva

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

e, precisamos nesta alternativa determinar

b . O ponto mais à direita da curva é…

Vamos usar alguns resultados da alternativa anterior! Temos o plot dado por

o ponto mais à direita será algo entre o ponto D e E que são para t = π / 2 e t = 3 π / 4 . O ponto mais à direita será dado por t que zera a componente horizontal da derivada da função, portanto, vamos calcular a derivada desta curva em termos do parâmetro t ! Vem comigo!

Passo 2

Precisamos calcular

γ ' ( t ) = d d t [ γ ( t ) ] = d d t [ s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ]

distribuindo em ambos os componentes, temos que

γ ' ( t ) = [ d d t ( s i n ( t ) ) - d d t ( s i n ( t ) c o s ( t ) ) , d d t ( s i n 2 ( t ) ) + d d t ( c o s ( t ) ) ]

usando a regra do produto, da cadeia e algumas derivadas conhecidas, temos que

γ ' ( t ) = [ c o s ( t ) - c o s 2 ( t ) + s i n 2 ( t ) , 2   s i n ( t ) c o s ( t ) - s i n ( t ) ]

Agora lembre-se que a derivada é geometricamente relacionada a inclinação da reta tangente a curva! No ponto que desejamos, o maior ponto à direita, temos que a reta é vertical, ou seja, sua componente horizontal é nula! Ou seja?

Passo 3

… Ou seja, temos encontrar um valor de t entre t = π / 2 e t = 3 π / 4 , tal que

c o s ( t ) - c o s 2 ( t ) + s i n 2 ( t ) = 0

usando que s i n 2 ( t ) = 1 - c o s 2 ( t ) , obtemos simplesmente

c o s ( t ) + 1 - 2 c o s 2 ( t ) = 0

para facilitar nossa vida, vamos chamar x = c o s ( t ) , de forma que obtemos o seguinte polinômio de segundo grau

- 2   x 2 + x + 1 = 0

aplicando Bhaskara temos que

x ± = - 1 ± 1 2 - 4 ( - 2 ) ( 1 ) 2 ( - 2 ) = - 1 ± 9 - 4

ou duas possibilidades

x + = - 1 2 e x - = 1

ou seja, como x = c o s ( t ) , vamos procurar valores de t tal que

c o s ( t ) = - 1 / 2 ou c o s ( t ) = 1

Vamos lá!

Passo 4

Temos que

c o s ( t ) = 1

quando t = ( 2 n π ) , portanto, não existe solução no intervalo que indiquei no começo desta alternativa! No entanto, temos que

c o s ( t ) = - 1 / 2

quando t = 2 π / 3 que está no intervalo desejado! Portanto, o valor mais a direita é

γ ( 2 π / 3 ) = ( s i n ( 2 π / 3 ) - s i n ( 2 π / 3 ) c o s ( 2 π / 3 ) , s i n 2 ( 2 π / 3 ) + c o s ( 2 π / 3 ) ) = ( 1.3,0.25 )

Aí está mais uma alternativa! Te vejo na próxima!

Resposta

γ ( 2 π / 3 ) = ( 1.3,0.25 )

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Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
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