Considere funções:

s ( x ) = | x   +   6 | - 3   ,   x   ∈ R

E

h x = | x + 6 | - 3 ,   - 8 ≤ x < - 4 - x + 4 - 1 ,   - 4 ≤ x ≤ 0 - 2 x 2 + 4 x - 3 ,   0 < x < 2 - 4 - x - 4 2 - 3 ,   2 ≤ x ≤ 6

Encontre as coordenadas dos pontos em que o gráfico da função y   =   s ( x ) corta os eixos coordenados.

Esboce o gráfico de s ( x )   =   | x   +   6 |   -   3   ,   x   ∈ R . Explique a construção do gráfico da função s , usando transformações em gráfico (translações, reflexões...) a partir do gráfico da função y   =   | x | Descreva essas transformações em palavras.

Responda qual é o domínio da função h .

Levando em consideração os gráficos obtidos nos itens anteriores e o gráfico da função s , esboce o gráfico da função h .

Responda qual é a imagem da função h .

Observando o gráfico da função h , dê os intervalos do domínio em que a função h é decrescente. Esboce o gráfico da função L ( x )   =   h ( - x ) e da função M ( x )   =   L ( | x | ) . Explique a construção desses gráficos.

A função y   =   L ( x )   =   h ( - x ) é par? É ímpar? Nem uma coisa e nem outra? Explique!

A função y   =   M ( x )   =   L ( | x | ) é par? É ímpar? Nem uma coisa e nem outra? Explique!

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... vemos que essa questão tem várias perguntinhas haha.

Mas vamos devagarinho buscar entender ela como um todo, certinho?

Passo 2

Bom...primeiro vamos encontrar as coordenadas dos pontos em que o gráfico da função y   =   s ( x ) corta os eixos coordenados.

Seja s x = x + 6 - 3 :

  1. Para x = 0 :
  2. y = 0 + 6 - 3 = 3

  3. Para y = 0 :

0 = x + 6 - 3 ∴

x = - 3

x = - 9

Logo, o cruzamento com os eixos se dá em: 0,3 , - 3,0 ,   - 9,0 .

Passo 3

Agora, a questão nos pede para esboçar o gráfico de s ( x )   =   | x   +   6 |   -   3   ,   x   ∈ R , explicar a construção do gráfico da função s , usando transformações em gráfico (translações, reflexões...) a partir do gráfico da função y   =   | x | e descrever essas transformações em palavras.

Bom, esboçando o gráfico, temos:

Vemos que s ( x ) pode ser construída a partir de x usando as transformações:

  1. Translação em x para esquerda em 6 unidades;
  2. Translação em y para baixo em 3 unidades.

Passo 4

Agora, queremos saber do domínio da função.

O domínio de h :

  • x + 4 ≥ 0 ∴ x ≥ 4 ;
  • 4 - x - 4 2 ≥ 0 ∴ 2 ≤ x ≤ 6

Portanto, considerando os intervalos encontrados e verificando se as condições acima foram atendidas, temos que o domínio é dado pelo seguinte intervalo:

- 8 ≤ x ≤ 6

Passo 5

Agora, a questão nos pede para esboçar o gráfico da função h , levando em consideração os gráficos obtidos nos itens anteriores e o gráfico da função s .

Bom, esboçando o gráfico, temos:

Passo 6

Agora, analisando o gráfico acima, podemos definir que a imagem está em - 1 ,   - 5 .

Passo 7

Agora, a questão nos pede para dar os intervalos do domínio em que a função h é decrescente. Também nos pede para esboçar o gráfico da função L ( x )   =   h ( - x ) e da função M ( x )   =   L ( | x | ) e explicar a construção desses gráficos, observando o gráfico da função h .

Bom... esboçando o gráfico, temos:

Vemos que a função é decrescente em - 8 , - 6 ∪ - 4,0 ∪ 1,4 .

Passo 8

Agora, devemos explicar o sentido de y   =   L ( x ) = h ( - x ) .

Bom... L ( x ) = h ( - x ) trata-se apenas da reflexão do eixo y .

Passo 9

Agora, devemos explicar M ( x ) = L ( | x | ) .

Aqui, o que estava do lado negativo de x passou para o lado positivo de x .

Portanto, nenhuma das funções é par ou ímpar, dado que não há simetria com nenhum eixo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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