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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

A curva parametrizada por

r t = t 2 cos ⁡ t , t 2 sin ⁡ t , t 2 ,   t ≥ 0

Está contida em:

  1. Um plano
  2. Um paraboloide
  3. Um cone
  4. Um hiperboloide
  5. Um elipsoide

Passo 1

Temos que descobrir a equação cartesiana que essa equação paramétrica representa. Ou seja, precisamos descobrir uma equação que relacione x ,   y ,   z a partir dessa equação onde x , y , z estão escritos em função do parâmetro t .

Vamos lá?

O que temos é

x t = t 2 cos ⁡ t

y t = t 2 sin ⁡ t

z t = t 2

Passo 2

Se observarmos com carinho, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = t 2 cos ⁡ t 2 + t 2 sen ⁡ t 2

⇒ x 2 t + y 2 ( t ) = t 4

z ( t ) = t 2

z 2 ( t ) = t 4

Logo:

x 2 t + y 2 ( t ) = z 2 ( t )

Então essa curva está contida em um cone.

Resposta

L e t r a   c

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica