Dadas as funções f   : R   →   R abaixo, verifique para cada uma delas:

  1. Se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo;
  2. Quais são, se houverem, as raízes da função;
  3. Encontre a interseção com o eixo vertical (eixo y);
  4. Encontre o vértice da parábola;
  5. Estude o sinal da função;
  6. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da parábola, indicando qual é o ponto e o valor de máximo ou mínimo da função;
  7. Esboce o gráfico da função, exibindo o eixo de simetria da parábola e indicando a região na qual a função é positiva e na qual a função é negativa.

e) f x = 3 x 2 + 15 x + 12

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função quadrática f ( x ) , ou seja, já sabemos que tem uma parábola por aí né? Haha

Sabendo disso, a questão nos dá uma lista de tarefinhas que temos que realizar, então cada passo será sobre uma dessas tarefinhas, combinado?

Se desespere não que estamos juntos!!

😉

Passo 2

Bom... primeiramente queremos saber se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo.

Para isso, devemos analisar se termo que multiplica o " x 2 " é positivo ou negativo.

Vamos ver a função:

f x = 3 x 2 + 15 x + 12

Como o termo que multiplica x 2 é positivo, então a parábola tem concavidade voltada para cima.

Passo 3

Agora, queremos descobrir as raízes da função.

Para isso, basta fazermos f x = 0 , se liga:

f x = 0 ∴

3 x 2 + 15 x + 12 = 0

Resolvendo a equação, temos:

Δ = 225 - 4 * 3 * 1 2 ∴

Δ = 81

x = - 15 ± 81 6 ∴

x 1 = - 1

x 2 = - 4

Que são as duas raízes das funções.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a interseção com o eixo vertical, ou seja, quando x = 0 :

f x = 3 x 2 + 15 x + 12 ∴

f 0 = 3 0 2 + 15 0 + 12

f 0 = 1 2

Passo 5

Podemos encontrar o vértice da parábola descobrindo o ponto em que a derivada da função é zero.

Encontrando a derivada, temos:

d d x f x = 6 x + 15

Igualando a zero, temos:

6 x + 15 = 0 ∴

x = - 2,5

E, substituindo o valor encontrado na função, temos o ponto do vértice:

f - 2,5 = 3 - 2,5 2 + 15 - 2,5 + 12 ∴

f - 2,5 = - 6,75

Logo, o vértice está no ponto - 2,5   ; - 6,75

Passo 6

Agora vamos estudar o sinal da função, ou seja, quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula.

Como já descobrimos a concavidade da parábola e as suas raízes, temos então o seguinte estudo:

Analisando a figura acima, vemos os valores para os quais a função é positiva ou negativa. E, também, os intervalos de crescimento e decrescimento da parábola:

  1. Ela é decrescente quando a derivada é negativa, ou seja, em - ∞ ,   - 2,5 - ;
  2. Ela é crescente quando a derivada é positiva, ou seja, em - 2,5 + , ∞ .

Além disso, vemos que seu ponto de máximo é o mesmo ponto do vértice.

Passo 7

Agora, vamos plotar o gráfico completo:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica