Determine e esboce o domínio da função:

c)

f x , y = y - x 2 ln ⁡ 1 - x 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o domínio (e seu esboço) da seguinte função:

f x , y = y - x 2 ln ⁡ 1 - x 2

O domínio de uma função trata-se do conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) para os quais a função está definida.

Por exemplo, se a função estiver definida apenas para valores reais de x e y , então o domínio seria o conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) pertencentes aos números reais.

Dessa forma, vemos que nossa função só existe se o radicando seja maior ou igual a zero e que o denominador seja diferente de zero, ou seja:

y - x 2 ≥ 0

E

1 - x 2 > 0

Lembrando que estamos trabalhando com números reais!!

Agora temos que resolver essa desigualdade!! Bora lá!

Passo 2

Bom... Resolvendo as inequações, temos:

y - x 2 ≥ 0 ∴

y ≥ x 2

E a segunda desigualdade:

1 - x 2 > 0 ∴

- 1 < x < 1

Portanto, o domínio D da função f ( x ,   y ) é o conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) tais que - 1 < x < 1   e   y ≥ x 2 , ou seja:

D = { x , y ∈ R | - 1 < x < 1   e   y ≥ x 2 }

Ainda, em outras palavras, o domínio é a região delimitada pelo eixo y e pelas parábolas y   =   x 2 e y = 1 .

Note que o ponto ( x , y ) = ( 1,1 ) não está no domínio da função, pois o logaritmo é indefinido em x = 1 .

Passo 3

Por fim, plotando o domínio da função, temos:

Onde a função é representada em rosa e o domínio em roxo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D = { x , y ∈ R | - 1 < x < 1   e   y ≥ x 2 }

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