Determine e esboce o domínio da função:

e)

f x , y = ln ⁡ 1 - x y 4 - x 2 - y 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o domínio (e seu esboço) da seguinte função:

f x , y = ln ⁡ 1 - x y 4 - x 2 - y 2

O domínio de uma função trata-se do conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) para os quais a função está definida.

Por exemplo, se a função estiver definida apenas para valores reais de x e y , então o domínio seria o conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) pertencentes aos números reais.

Dessa forma, vemos que nossa função só existe se o denominador for diferente de zero e se o argumento do logaritmo for maior que zero, ou seja:

4 - x 2 - y 2 > 0

E

1 - x y > 0

Lembrando que estamos trabalhando com números reais!!

Agora temos que resolver essa desigualdade!! Bora lá!

Passo 2

Bom... Resolvendo as inequações, temos:

4 - x 2 - y 2 > 0 ∴

x 2 + y 2 < 4

Aqui, podemos perceber que o ponto ( x ,   y ) deve estar dentro do círculo de raio 2 centrado na origem.

Por outro lado, para a outra desigualdade, temos:

1 - x y > 0 ∴

y < 1 x

Dessa segunda inequação, podemos perceber 3 situações:

  1. Se x   >   0 , então devemos ter y   < 1 x ;
  2. Se x   <   0 , então a desigualdade se inverte e temos y   > 1 x ;
  3. Se x   =   0 , então a desigualdade não é relevante.

Portanto, o domínio da função f ( x ,   y ) é a interseção da região y   < 1 x (para x   >   0 ) ou y   > 1 x (para x   <   0 ) com o círculo de raio 2 centrado na origem. Ou seja:

  • Para x > 0 :
  • D = { x , y ∈ R | x 2 + y 2 < 4 e y   < 1 x

  • Para x < 0 :
  • D = { x , y ∈ R | x 2 + y 2 < 4 e y > 1 x

    Lembrando que x ≠ 0 .

    Passo 3

    Por fim, plotando o domínio da função, temos:

    Onde a função está representada em azul e o domínio em roxo.

    Entendeu direitinho? Responde aee ;)

    Resposta

  • Para x > 0 :
  • D = { x , y ∈ R | x 2 + y 2 < 4 e y   < 1 x

  • Para x < 0 :

D = { x , y ∈ R | x 2 + y 2 < 4 e y > 1 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
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